Какое уравнение можно составить для касательной к параболе y = x^2 - 3x + 5 в точке М (2,3)?

Конечно! Чтобы найти уравнение для касательной к параболе в заданной точке, мы должны использовать два ключевых факта: 1) касательная к кривой в определенной точке имеет одинаковый наклон с кривой в этой точке, и 2) наклон касательной равен производной функции в данной точке.

Давайте посмотрим, как это работает в нашем примере:

Шаг 1: Найдем производную функции y = x^2 - 3x + 5. Для этого возьмем производную каждого отдельного члена, используя правила дифференцирования:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}}(x^2 - 3x + 5)
\]

Применяя правило степенной функции (производная x^n равна n * x^(n-1)), получаем:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 2x - 3
\]

Шаг 2: Найдем значение производной в точке M(2,3), подставив x=2 в наше полученное выражение:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1
\]

Таким образом, мы получили значение наклона (производной) функции в точке M.

Шаг 3: Теперь мы знаем, что наклон касательной к параболе в точке M равен 1. Для определения уравнения касательной обычно используют формулу наклон-точка, с помощью которой мы можем определить точку, известного значения наклона, а затем составить уравнение касательной.

Формула наклон-точка выглядит следующим образом: \(y - y_1 = m(x - x_1)\), где (x_1, y_1) - координаты заданной точки, m - наклон.

Подставляя значения (2,3) в наше выражение, получаем:

\(
y - 3 = 1(x - 2)
\)

\(
y - 3 = x - 2
\)

\(
y = x - 2 + 3
\)

\(
y = x + 1
\)

Таким образом, уравнение касательной к параболе \(y = x^2 - 3x + 5\) в точке M(2,3) равно \(y = x + 1\).

Мы использовали производную функции для нахождения наклона касательной и затем применили его в формуле наклон-точка, чтобы получить уравнение касательной. Надеюсь, это пошаговое объяснение помогло вам лучше понять процесс нахождения уравнения касательной к параболе в заданной точке! Если у вас возникнут другие вопросы, не стесняйтесь задавать их.