Какое уравнение можно использовать для решения следующей задачи: катер прошел 15 км вниз по течению реки и 9 км против

Для решения этой задачи вам понадобится использовать формулу скорости, связывающую расстояние, время и скорость:

$$v=\frac{d}{t}$$

где $v$ - скорость, $d$ - расстояние и $t$ - время.

Вы знаете, что катер прошел 15 км вниз по течению и 9 км против течения. Обозначим скорость катера относительно воды как $v_k$, а скорость течения как $v_t$.

Когда катер плывет вниз по течению, его скорость составляет сумму скорости катера относительно воды и скорости течения:

$$v_{down}=v_k+v_t$$

А когда катер плывет против течения, его скорость становится разностью скорости катера относительно воды и скорости течения:

$$v_{up}=v_k-v_t$$

Вы также знаете, что на весь путь катер потратил 3 часа. Это означает, что время, затраченное на путь вниз по течению, и время, затраченное на путь против течения, в сумме равны 3 часам:

$$t_{down}+t_{up}=3$$

Теперь, используя эти уравнения, решим задачу.

Составим уравнение для расстояния, пройденного катером вниз по течению:

$$v_{down}\cdot t_{down}=15$$

Аналогично, составим уравнение для расстояния, пройденного катером против течения:

$$v_{up}\cdot t_{up}=9$$

С учетом соотношения времени:

$$t_{up}=3-t_{down}$$

Подставим это значение в уравнение для расстояния против течения:

$$(v_k-v_t)\cdot (3-t_{down})=9$$

Теперь у нас есть два уравнения:

$$\{\begin{array}{l}(v_k+v_t)\cdot t_{down}=15\\ (v_k-v_t)\cdot (3-t_{down})=9\end{array}$$

Решаем эту систему уравнений. Сначала приведем первое уравнение к виду:

$$v_k\cdot t_{down}+v_t\cdot t_{down}=15$$

Теперь выразим из второго уравнения $t_{up}$:

$$t_{up}=3-t_{down}$$

Подставим этот результат в первое уравнение:

$$v_k\cdot t_{down}+v_t\cdot (3-t_{down})=15$$

Раскроем скобки:

$$v_k\cdot t_{down}+3\cdot v_t-v_t\cdot t_{down}=15$$

Сгруппируем слагаемые:

$$(v_k-v_t)\cdot t_{down}+3\cdot v_t=15$$

Выразим $v_k-v_t$ через известные величины:

$$(v_k-v_t)=\frac{15-3\cdot v_t}{t_{down}}$$

Теперь можем подставить это во второе уравнение:

$$\frac{15-3\cdot v_t}{t_{down}}\cdot (3-t_{down})=9$$

Упростим:

$$(15-3\cdot v_t)\cdot (3-t_{down})=9\cdot t_{down}$$

Раскроем скобки:

$$45-15\cdot t_{down}-3\cdot v_t\cdot (3-t_{down})=9\cdot t_{down}$$

Упростим:

$$45-15\cdot t_{down}-9\cdot v_t+3\cdot v_t\cdot t_{down}=9\cdot t_{down}$$

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

$$15\cdot t_{down}+9\cdot t_{down}-3\cdot v_t\cdot t_{down}=45-9\cdot v_t$$

Сгруппируем слагаемые:

$$24\cdot t_{down}-3\cdot v_t\cdot t_{down}=45-9\cdot v_t$$

Вынесем общий множитель:

$$t_{down}\cdot (24-3\cdot v_t)=45-9\cdot v_t$$

Теперь можно найти $t_{down}$, выразив его:

$$t_{down}=\frac{45-9\cdot v_t}{24-3\cdot v_t}$$

Теперь найдем $v_k$, подставив значение $t_{down}$ в первое уравнение:

$$v_k=\frac{15}{t_{down}}-v_t$$

Подставим значение $t_{down}$:

$$v_k=\frac{15}{\frac{45-9\cdot v_t}{24-3\cdot v_t}}-v_t$$

Рационализуем знаменатель:

$$v_k=\frac{15\cdot (24-3\cdot v_t)}{45-9\cdot v_t}-v_t$$

Раскроем скобки:

$$v_k=\frac{360-45\cdot v_t}{45-9\cdot v_t}-v_t$$

Разложим числитель на множители:

$$v_k=\frac{45\cdot (8-v_t)}{45-9\cdot v_t}-v_t$$

Теперь можем сократить числитель и знаменатель на 45:

$$v_k=\frac{8-v_t}{1-0.2\cdot v_t}-v_t$$

Упростим знаменатель:

$$v_k=\frac{8-v_t}{1-0.2\cdot v_t}-\frac{v_t\cdot (1-0.2\cdot v_t)}{1-0.2\cdot v_t}$$

Общий знаменатель уберем:

$$v_k=\frac{8-v_t-(v_t-0.2\cdot v_t^2)}{1-0.2\cdot v_t}$$

Сократим слагаемые в числителе:

$$v_k=\frac{8-v_t-v_t+0.2\cdot v_t^2}{1-0.2\cdot v_t}$$

Упростим:

$$v_k=\frac{8-2\cdot v_t+0.2\cdot v_t^2}{1-0.2\cdot v_t}$$

Таким образом, найденное уравнение для искомой скорости катера относительно воды:

$$v_k=\frac{8-2\cdot v_t+0.2\cdot v_t^2}{1-0.2\cdot v_t}$$