Какое уравнение можно использовать для решения следующей задачи: катер прошел 15 км вниз по течению реки и 9 км против

Для решения этой задачи вам понадобится использовать формулу скорости, связывающую расстояние, время и скорость:

\[v = \frac{d}{t}\]

где \(v\) - скорость, \(d\) - расстояние и \(t\) - время.

Вы знаете, что катер прошел 15 км вниз по течению и 9 км против течения. Обозначим скорость катера относительно воды как \(v_k\), а скорость течения как \(v_t\).

Когда катер плывет вниз по течению, его скорость составляет сумму скорости катера относительно воды и скорости течения:

\[v_{down} = v_k + v_t\]

А когда катер плывет против течения, его скорость становится разностью скорости катера относительно воды и скорости течения:

\[v_{up} = v_k - v_t\]

Вы также знаете, что на весь путь катер потратил 3 часа. Это означает, что время, затраченное на путь вниз по течению, и время, затраченное на путь против течения, в сумме равны 3 часам:

\[t_{down} + t_{up} = 3\]

Теперь, используя эти уравнения, решим задачу.

Составим уравнение для расстояния, пройденного катером вниз по течению:

\[v_{down} \cdot t_{down} = 15\]

Аналогично, составим уравнение для расстояния, пройденного катером против течения:

\[v_{up} \cdot t_{up} = 9\]

С учетом соотношения времени:

\[t_{up} = 3 - t_{down}\]

Подставим это значение в уравнение для расстояния против течения:

\[(v_k - v_t) \cdot (3 - t_{down}) = 9\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[\begin{cases} (v_k + v_t) \cdot t_{down} = 15 \\ (v_k - v_t) \cdot (3 - t_{down}) = 9 \end{cases}\]

Решаем эту систему уравнений. Сначала приведем первое уравнение к виду:

\[v_k \cdot t_{down} + v_t \cdot t_{down} = 15\]

Теперь выразим из второго уравнения \(t_{up}\):

\[t_{up} = 3 - t_{down}\]

Подставим этот результат в первое уравнение:

\[v_k \cdot t_{down} + v_t \cdot (3 - t_{down}) = 15\]

Раскроем скобки:

\[v_k \cdot t_{down} + 3 \cdot v_t - v_t \cdot t_{down} = 15\]

Сгруппируем слагаемые:

\[(v_k - v_t) \cdot t_{down} + 3 \cdot v_t = 15\]

Выразим \(v_k - v_t\) через известные величины:

\[(v_k - v_t) = \frac{15 - 3 \cdot v_t}{t_{down}}\]

Теперь можем подставить это во второе уравнение:

\[\frac{15 - 3 \cdot v_t}{t_{down}} \cdot (3 - t_{down}) = 9\]

Упростим:

\[(15 - 3 \cdot v_t) \cdot (3 - t_{down}) = 9 \cdot t_{down}\]

Раскроем скобки:

\[45 - 15 \cdot t_{down} - 3 \cdot v_t \cdot (3 - t_{down}) = 9 \cdot t_{down}\]

Упростим:

\[45 - 15 \cdot t_{down} - 9 \cdot v_t + 3 \cdot v_t \cdot t_{down} = 9 \cdot t_{down}\]

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

\[15 \cdot t_{down} + 9 \cdot t_{down} - 3 \cdot v_t \cdot t_{down} = 45 - 9 \cdot v_t\]

Сгруппируем слагаемые:

\[24 \cdot t_{down} - 3 \cdot v_t \cdot t_{down} = 45 - 9 \cdot v_t\]

Вынесем общий множитель:

\[t_{down} \cdot (24 - 3 \cdot v_t) = 45 - 9 \cdot v_t\]

Теперь можно найти \(t_{down}\), выразив его:

\[t_{down} = \frac{45 - 9 \cdot v_t}{24 - 3 \cdot v_t}\]

Теперь найдем \(v_k\), подставив значение \(t_{down}\) в первое уравнение:

\[v_k = \frac{15}{t_{down}} - v_t\]

Подставим значение \(t_{down}\):

\[v_k = \frac{15}{\frac{45 - 9 \cdot v_t}{24 - 3 \cdot v_t}} - v_t\]

Рационализуем знаменатель:

\[v_k = \frac{15 \cdot (24 - 3 \cdot v_t)}{45 - 9 \cdot v_t} - v_t\]

Раскроем скобки:

\[v_k = \frac{360 - 45 \cdot v_t}{45 - 9 \cdot v_t} - v_t\]

Разложим числитель на множители:

\[v_k = \frac{45 \cdot (8 - v_t)}{45 - 9 \cdot v_t} - v_t\]

Теперь можем сократить числитель и знаменатель на 45:

\[v_k = \frac{8 - v_t}{1 - 0.2 \cdot v_t} - v_t\]

Упростим знаменатель:

\[v_k = \frac{8 - v_t}{1 - 0.2 \cdot v_t} - \frac{v_t \cdot (1 - 0.2 \cdot v_t)}{1 - 0.2 \cdot v_t}\]

Общий знаменатель уберем:

\[v_k = \frac{8 - v_t - (v_t - 0.2 \cdot v_t^2)}{1 - 0.2 \cdot v_t}\]

Сократим слагаемые в числителе:

\[v_k = \frac{8 - v_t - v_t + 0.2 \cdot v_t^2}{1 - 0.2 \cdot v_t}\]

Упростим:

\[v_k = \frac{8 - 2 \cdot v_t + 0.2 \cdot v_t^2}{1 - 0.2 \cdot v_t}\]

Таким образом, найденное уравнение для искомой скорости катера относительно воды:

\[v_k = \frac{8 - 2 \cdot v_t + 0.2 \cdot v_t^2}{1 - 0.2 \cdot v_t}\]