Какое смещение груза относительно положения равновесия, когда его скорость на 30% ниже максимального значения скорости

Для начала рассмотрим основные понятия, связанные с колебаниями на пружине. Когда груз на пружине находится в положении равновесия, он не испытывает никаких сил, восстанавливающих его в исходное положение.

Колебания груза на пружине описываются законом Гука, который устанавливает линейную зависимость силы \( F \) от смещения \( x \). Формула для этой силы выглядит следующим образом:

\[ F = -kx \]

где \( k \) - жесткость пружины, \( x \) - смещение груза от положения равновесия.

Теперь перейдем к изучению скорости колебаний груза на пружине. Скорость груза может быть определена как производная смещения груза по времени.

Пусть максимальная скорость груза будет обозначена \( V_{макс} \), а значение скорости, которое нас интересует (на 30% ниже максимальной скорости), будет \( V \). Мы можем выразить эти значения следующим образом:

\[ V = 0.7 \cdot V_{макс} \]

Теперь мы можем перейти к решению задачи. Для этого воспользуемся законом сохранения механической энергии. Наибольшее значение потенциальной энергии при колебаниях груза на пружине равно кинетической энергии при смещении груза на амплитуду \( A \).

\[ \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} m V_{макс}^2 \]

Здесь \( m \) - масса груза.

Теперь мы можем решить это уравнение относительно амплитуды \( A \):

\[ A = \sqrt{\frac{m V_{макс}^2}{k}} \]

Подставим значение массы \( m = 200 \) г и жесткости \( k = 0.25 \) кН/м:

\[ A = \sqrt{\frac{0.2 \cdot V_{макс}^2}{0.25}} \]

Заметим, что скорость \( V \) на 30% меньше максимальной скорости \( V_{макс} \), тогда \( V = 0.7 \cdot V_{макс} \). Подставим это значение в предыдущее уравнение:

\[ A = \sqrt{\frac{0.2 \cdot (0.7 \cdot V_{макс})^2}{0.25}} \]

Таким образом, смещение груза относительно положения равновесия равно \( A \). Полученное значение \( A \) позволяет нам определить смещение груза.