Какое решение имеет неравенство второй степени x^2 - 4x - 5 > 0? Пожалуйста, найдите

Хорошо, давайте решим данное неравенство пошагово.

Нам дано неравенство второй степени: \(x^2 - 4x - 5 > 0\). Наша задача состоит в том, чтобы найти все значения \(x\), для которых это неравенство выполняется.

Шаг 1: Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 4x - 5 = 0\). Для этого воспользуемся формулой квадратного трехчлена \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где у нас \(a = 1\), \(b = -4\) и \(c = -5\).

Вычислим значения корней:

\[x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1}\]
\[x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}\]
\[x = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2}\]
\[x = \frac{4 \pm 6}{2}\]

Теперь у нас есть две возможных комбинации значений \(x\):

1) \(x = \frac{4 + 6}{2} = 5\)
2) \(x = \frac{4 - 6}{2} = -1\)

Шаг 2: Построим число \(x\) на числовой прямой. Разместим точки \(-1\) и \(5\) на числовой прямой.

\(\displaystyle{ \begin{array}{|c|c|c|} \hline -\infty & -1 & 5 & \infty \\ \hline \end{array} }\)

Шаг 3: Определим, какое решение имеет неравенство \(x^2 - 4x - 5 > 0\) на каждом из интервалов числовой прямой.

3.1) Рассмотрим интервал \(-\infty < x < -1\). Подставим любое значение \(x\) из этого интервала в исходное неравенство и проверим, выполняется ли оно.

Если подставить, например, \(x = -2\), то получится:

\((-2)^2 - 4(-2) - 5 > 0\)
\(4 + 8 - 5 > 0\)
\(7 > 0\)

Так как результат выполняется (т.е. положителен), то неравенство \(x^2 - 4x - 5 > 0\) выполняется на данном интервале.

3.2) Рассмотрим интервал \(-1 < x < 5\). Подставим любое значение \(x\) из этого интервала в исходное неравенство и проверим, выполняется ли оно.

Если подставить, например, \(x = 0\), то получится:

\(0^2 - 4(0) - 5 > 0\)
\(-5 > 0\)

Так как результат не выполняется (т.е. отрицателен), то неравенство \(x^2 - 4x - 5 > 0\) не выполняется на данном интервале.

3.3) Рассмотрим интервал \(5 < x < \infty\). Подставим любое значение \(x\) из этого интервала в исходное неравенство и проверим, выполняется ли оно.

Если подставить, например, \(x = 6\), то получится:

\(6^2 - 4(6) - 5 > 0\)
\(36 - 24 - 5 > 0\)
\(7 > 0\)

Так как результат выполняется (т.е. положителен), то неравенство \(x^2 - 4x - 5 > 0\) выполняется на данном интервале.

Шаг 4: Соберем все интервалы, на которых неравенство выполняется.

Таким образом, решением неравенства \(x^2 - 4x - 5 > 0\) является интервал \(-\infty < x < -1\) и интервал \(5 < x < \infty\).

На числовой прямой это можно представить следующим образом:

\(\displaystyle{ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline -\infty & & -1 & & 5 & & \infty \\ \hline & (-\infty; -1) & & (5; \infty) & & & \\ \hline \end{array} }\)

Надеюсь, это разъясняет решение неравенства \(x^2 - 4x - 5 > 0\) и делает его понятным для школьника.