Какое расстояние (в см) есть между точкой подвешивания шарика и плоскостью его вращения, если маленький заряженный

Для решения этой задачи нам понадобится использовать законы сохранения момента импульса и момента силы.

Первым шагом определим условия задачи. У нас есть заряженный шарик, вращающийся горизонтально вокруг некоторой точки, находящейся в его центре. Угловая скорость вращения этого шарика равна 3 рад/с.

Также в центре круга находится точно такой же заряд, что у шарика. Если изменить заряд шарика на заряд с противоположным знаком, но такой же абсолютной величиной, то угловая скорость равна 4 рад/с, а радиус вращения остается неизменным.

Вторым шагом рассмотрим моменты сил, действующих на шарик в системе. По закону сохранения момента импульса, момент импульса системы должен сохраняться.

Момент импульса \(L\) определяется как произведение момента инерции \(I\) на угловую скорость \(\omega\):
\[L = I \cdot \omega\]

Третьим шагом рассмотрим момент силы на шарике. Плоскость вращения находится в горизонтальной плоскости, поэтому гравитационной силой можно пренебречь.

Единственной силой, действующей на шарик, является электростатическая сила. Из условия задачи известно, что радиус вращения остается неизменным при изменении заряда. Значит, момент силы также остается неизменным.

Момент силы \(M\) определяется как произведение силы \(F\) на расстояние \(r\) от точки приложения силы до оси вращения:
\[M = F \cdot r\]

В четвертом шаге воспользуемся имеющейся информацией. Выразим момент силы через известные величины.

Так как момент силы, а значит и сила, остается неизменным, можем записать:
\[M_1 = M_2\]

где \(M_1\) - момент силы при первоначальном заряде шарика,
\(M_2\) - момент силы после изменения заряда на заряд с противоположным знаком.

Пусть \(r\) - расстояние от точки подвешивания шарика до плоскости его вращения. Тогда у нас есть два уравнения:

\[F_1 \cdot r_1 = F_2 \cdot r_2\]
\[r_1 = r + d\]
\[r_2 = r - d\]

где \(F_1\) и \(F_2\) - силы при первоначальном и измененном зарядах соответственно, а \(d\) - расстояние между точкой подвешивания и центром круга.

Пятый шаг - найдем величину момента силы \(M_1\) при первоначальном заряде шарика. Момент силы определяется как произведение силы на расстояние от точки приложения силы до оси вращения.

\[M_1 = F_1 \cdot r_1\]

При этом сила \(F_1\) равна силе Кулона:

\[F_1 = \frac{{k \cdot q_1 \cdot q}}{{r_1^2}}\]

где \(k\) - постоянная Кулона, \(q_1\) и \(q\) - заряды первоначального шарика и заряда в центре соответственно.

Шестой шаг - найдем величину силы \(F_2\) при измененном заряде шарика. Аналогично, сила \(F_2\) равна силе Кулона:

\[F_2 = \frac{{k \cdot q_2 \cdot q}}{{r_2^2}}\]

где \(q_2\) - измененный заряд шарика.

Седьмой шаг - запишем уравнение, связывающее первоначальный и измененный заряды:

\[q_1 = -q_2\]

Теперь мы можем выразить все известные величины через радиус вращения \(r\):

\[r_1 = r + d\]
\[r_2 = r - d\]
\[q_1 = -q_2\]

Восьмой шаг - найдем величину \(M_1\), используя все наши выражения:

\[M_1 = \frac{{k \cdot q_1 \cdot q}}{{(r + d)^2}} \cdot (r + d)\]

Девятый шаг - найдем величину \(M_2\) при измененном заряде:

\[M_2 = \frac{{k \cdot q_2 \cdot q}}{{(r - d)^2}} \cdot (r - d)\]

Десятый шаг - по закону сохранения момента импульса у нас есть равенство момента импульса до изменения заряда и после:

\[M_1 = M_2\]

\[\frac{{k \cdot q_1 \cdot q}}{{(r + d)^2}} \cdot (r + d) = \frac{{k \cdot q_2 \cdot q}}{{(r - d)^2}} \cdot (r - d)\]

\[\frac{{q_1}}{{(r + d)}} = \frac{{q_2}}{{(r - d)}}\]

\[q_1 \cdot (r - d) = q_2 \cdot (r + d)\]

\[-q_1 \cdot d = q_2 \cdot d\]

\[q_1 = q_2\]

\[q_1 = -q_1\]

\[-2q_1 = 0\]

\[2q_1 = 0\]

\[q_1 = 0\]

Исходя из этого, получаем, что первоначальный заряд шарика равен нулю.

Одиннадцатый шаг - найдем расстояние \(r\) между точкой подвешивания и плоскостью вращения:

\[r = \frac{{2k \cdot q_1 \cdot q}}{{M_1}}\]

Мы получили ответ на задачу: расстояние между точкой подвешивания шарика и плоскостью его вращения равно \(r\) см.