Какое расстояние сместился поршень, когда уровень воды достиг высоты а/2 в резервуаре, разделенном на две равные части

Для решения этой задачи нам потребуется знать закон Архимеда и связанные с ним принципы.

Закон Архимеда гласит, что на любое тело, погруженное в жидкость или газ, действует сила, равная весу вытесненной им жидкости или газа. Также важно помнить, что давление жидкости на определенную глубину является постоянным.

Перед тем, как начать решение, определим некоторые обозначения:
- \(V\) - объем резервуара
- \(h\) - высота уровня воды
- \(a\) - исходная высота уровня воды в резервуаре
- \(s\) - расстояние, на которое сместился поршень

Так как резервуар разделен на две равные части, а вода наливается только в одну половину, то объем воды будет составлять \(V/2\).

Теперь посмотрим на изменение сил, действующих на поршень. До налива воды сила Архимеда равна нулю, так как уровень воды ниже поршня. После налива воды и достижения уровнем высоты \(a/2\), на поршень начнет действовать сила Архимеда.

Сила Архимеда определяется как разница веса воды до и после налива. Вес воды до налива составляет \(mgh\), где \(m\) - масса воды, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - исходная высота уровня воды. Вес воды после налива составляет \(mg(a/2)\), где \(a/2\) - высота уровня воды после налива.

Таким образом, сила Архимеда равна разнице весов до и после налива:
\[F_{\text{Арх}} = mgh - mga/2\]

Теперь используем связь между силой, давлением и площадью действия силы:
\[F_{\text{Арх}} = P_{\text{давл}} \cdot S_{\text{поршня}}\]

Где \(P_{\text{давл}}\) - давление жидкости на поршень, \(S_{\text{поршня}}\) - площадь действия силы Архимеда на поршень.

Так как условие задачи говорит о том, что на поршень не действуют трение и пар, то сила Архимеда будет равномерно распределена по площади поршня. Поэтому площадь действия силы Архимеда будет равна площади поршня:
\[S_{\text{поршня}} = S_{\text{поршня}}\]
\[F_{\text{Арх}} = P_{\text{давл}} \cdot S_{\text{поршня}} = mgh - mga/2\]

Теперь мы можем решить уравнение относительно давления:
\[P_{\text{давл}} = (mgh - mga/2) / S_{\text{поршня}}\]

Обратите внимание, что уравнение не зависит от площади поршня, поскольку сила Архимеда уже распределена равномерно по поршню.

Давление на поршень можно записать как:
\[P_{\text{давл}} = \rho g (h - a/2)\]

Где \(\rho\) - плотность жидкости.

Теперь мы можем приравнять это выражение к давлению на глубине \(s\) и найти расстояние, на которое сместился поршень:
\(\rho g (h - a/2) = \rho g s\)

Сокращая \(\rho\) и \(g\), получаем:
\(h - a/2 = s\)

Таким образом, можем утверждать, что поршень сместился на расстояние, равное разности между исходной высотой уровня воды и \(a/2\).

Ответ: Расстояние, на которое сместился поршень, равно \(h - a/2\).