Какое расстояние пройдет точка с t1=1 до t2=3, если скорость тела задана функцией v(x)=2t-2?

Хорошо, давайте решим эту задачу.

У нас есть функция скорости тела \(v(x)=2t-2\), где \(t\) - время, \(x\) - расстояние. Нам нужно найти расстояние, которое точка пройдет за время от \(t_1=1\) до \(t_2=3\).

Для начала, чтобы найти расстояние, мы можем проинтегрировать функцию скорости по времени. Для этого используем формулу:

\[x(t) = \int v(t) dt\]

Подставив значение для \(v(t)\), получаем:

\[x(t) = \int (2t-2) dt\]

Теперь проинтегрируем это выражение. Интеграл от \(2t\) по \(t\) равен \(t^2\), а от \(-2\) по \(t\) равен \(-2t\). Таким образом, получаем:

\[x(t) = t^2 - 2t + C\]

где \(C\) - постоянная, которую мы определим позднее.

Чтобы найти значение \(C\), подставим известные значения расстояний и времени. Мы знаем, что \(x(t_1) = 0\) (точка начала пути) и \(x(t_2) = ?\) (точка конца пути). Подставим эти значения и найдем \(C\):

\[x(t_1) = 0 = t_1^2 - 2t_1 + C\]
\[0 = 1^2 - 2 \cdot 1 + C\]
\[0 = 1 - 2 + C\]
\[1 = C - 1\]
\[C = 2\]

Теперь, зная значение \(C\), мы можем записать окончательное выражение для расстояния \(x(t)\):

\[x(t) = t^2 - 2t + 2\]

Теперь, чтобы найти расстояние между моментами времени \(t_1\) и \(t_2\), нам нужно найти разность \(x(t_2) - x(t_1)\):

\[x(t_2) - x(t_1) = (t_2^2 - 2t_2 + 2) - (t_1^2 - 2t_1 + 2)\]
\[x(t_2) - x(t_1) = t_2^2 - 2t_2 + 2 - t_1^2 + 2t_1 - 2\]
\[x(t_2) - x(t_1) = (t_2^2 - t_1^2) + (-2t_2 + 2t_1) + (2 - 2)\]
\[x(t_2) - x(t_1) = (t_2 - t_1)(t_2 + t_1) + 2(t_1 - t_2) + 0\]
\[x(t_2) - x(t_1) = (t_2 - t_1)(t_2 + t_1) + 2(t_1 - t_2)\]

Таким образом, для заданных значений \(t_1=1\) и \(t_2=3\) выражение преобразуется следующим образом:

\[x(t_2) - x(t_1) = (3 - 1)(3 + 1) + 2(1 - 3)\]
\[x(t_2) - x(t_1) = 2 \cdot 4 + 2(-2)\]
\[x(t_2) - x(t_1) = 8 - 4\]
\[x(t_2) - x(t_1) = 4\]

Точка пройдет расстояние 4 единиц от момента времени \(t_1=1\) до \(t_2=3\).