Какое расстояние между центрами каждой пары монет, если их диаметры составляют 24 мм, 20 мм и

16 мм?

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать формулу для расстояния между центрами двух окружностей.

Формула для расстояния между центрами двух окружностей:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2},\]

где \(x_1\), \(y_1\) - координаты центра первой окружности, \(x_2\), \(y_2\) - координаты центра второй окружности.

В нашем случае, так как мы рассматриваем монеты, которые имеют форму окружностей, мы можем считать, что координаты центров окружностей совпадают с координатами их центров.

Теперь давайте подставим значения из условия задачи. Пусть центры первой и второй монет имеют координаты \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) соответственно.

Так как диаметры монет составляют 24 мм, 20 мм и 16 мм, радиусы этих монет будут равны половине их диаметров, то есть 12 мм, 10 мм и 8 мм.

Мы можем записать систему уравнений для нахождения координат (x1, y1) и (x2, y2) так:

\[
\begin{cases}
\sqrt{x_2^2 + y_2^2} - \sqrt{x_1^2 + y_1^2} = 24 \\
\sqrt{x_2^2 + y_2^2} - \sqrt{x_1^2 + y_1^2} = 20 \\
\sqrt{x_2^2 + y_2^2} - \sqrt{x_1^2 + y_1^2} = 16 \\
\end{cases}
\]

Решить эту систему можно различными методами, например, методом подстановки или методом исключения переменных. Однако, учитывая что в задаче указано найти максимально подробный и обстоятельный ответ, рассмотрим метод подстановки.

1. Подставим первое уравнение системы во второе уравнение:
\[\sqrt{x_2^2 + y_2^2} - \sqrt{x_1^2 + y_1^2} = 20.\]
Тогда
\[\sqrt{x_2^2 + y_2^2} = 20 + \sqrt{x_1^2 + y_1^2}.\]

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:
\[(\sqrt{x_2^2 + y_2^2})^2 = (20 + \sqrt{x_1^2 + y_1^2})^2.\]
После приведения подобных действий получим:
\[x_2^2 + y_2^2 = 400 + 40\sqrt{x_1^2 + y_1^2} + x_1^2 + y_1^2 + 2 \cdot 20 \cdot \sqrt{x_1^2 + y_1^2}.\]

3. Заметим, что в полученном уравнении присутствуют квадраты, которые можно исключить с помощью квадратного корня:
\[\sqrt{x_2^2 + y_2^2} = \sqrt{420 + 60\sqrt{x_1^2 + y_1^2} + 2 \cdot 20 \cdot \sqrt{x_1^2 + y_1^2}}.\]

4. Заменим второе уравнение системы этим выражением:
\[\sqrt{420 + 60\sqrt{x_1^2 + y_1^2} + 2 \cdot 20 \cdot \sqrt{x_1^2 + y_1^2}} - \sqrt{x_1^2 + y_1^2} = 20.\]
Теперь мы имеем уравнение только с переменными \(x_1\) и \(y_1\).

5. Решим полученное уравнение относительно одной переменной. Возведем обе части уравнения в квадрат:
\[420 + 60\sqrt{x_1^2 + y_1^2} + 2 \cdot 20 \cdot \sqrt{x_1^2 + y_1^2} = (\sqrt{x_1^2 + y_1^2} + 20)^2.\]
После приведения подобных действий получим:
\[420 + 80\sqrt{x_1^2 + y_1^2} = x_1^2 + y_1^2 + 40\sqrt{x_1^2 + y_1^2} + 400.\]
Упростим:
\[20\sqrt{x_1^2 + y_1^2} = x_1^2 + y_1^2 - 20\sqrt{x_1^2 + y_1^2} + 400.\]
Опять приведем подобные действия:
\[40\sqrt{x_1^2 + y_1^2} = x_1^2 + y_1^2 + 400.\]
Возведем обе части уравнения в квадрат:
\[1600(x_1^2 + y_1^2) = (x_1^2 + y_1^2 + 400)^2.\]
Далее:
\[x_1^2 + y_1^2 = \frac{(x_1^2 + y_1^2 + 400)^2}{1600}.\]
И, наконец:
\[x_1^2 + y_1^2 = \frac{x_1^2 + y_1^2 + 400}{4}.\]

Теперь у нас есть единственное уравнение с двумя переменными. Для его решения можно использовать различные методы, в том числе графический метод или метод подстановки.

Рассмотрим метод подстановки. Пусть \(x_1^2 + y_1^2 = A\). Тогда уравнение принимает вид:

\[A = \frac{A + 400}{4}.\]
Решим это уравнение относительно \(A\):
\[4A = A + 400.\]
\[3A = 400.\]
\[A = \frac{400}{3}.\]

Теперь, зная значение \(A\), мы можем найти значения \(x_1\) и \(y_1\):
\[x_1^2 + y_1^2 = \frac{400}{3}.\]

6. Теперь, имея значения \(x_1\), \(y_1\), найдем значения \(x_2\) и \(y_2\), используя первое уравнение системы:
\[\sqrt{x_2^2 + y_2^2} - \sqrt{x_1^2 + y_1^2} = 24.\]
Подставим значение \(x_1^2 + y_1^2 = \frac{400}{3}\):
\[\sqrt{x_2^2 + y_2^2} - \frac{20}{3} = 24.\]
Выразим \(\sqrt{x_2^2 + y_2^2}\):
\[\sqrt{x_2^2 + y_2^2} = 24 + \frac{20}{3}.\]
Возведем обе части уравнения в квадрат:
\[x_2^2 + y_2^2 = \left(24 + \frac{20}{3}\right)^2.\]
Приведем подобные действия:
\[x_2^2 + y_2^2 = \left(\frac{72 + 20}{3}\right)^2.\]
Упростим:
\[x_2^2 + y_2^2 = \left(\frac{92}{3}\right)^2.\]

Таким образом, мы получаем, что расстояние между центрами каждой пары монет составляет \(\left(\frac{92}{3}\right)^2 - \frac{400}{3}\) мм.