Какое отношение высоты к радиусу цилиндра приведет к тому, что разверткой его боковой поверхности будет квадрат?

Чтобы разверткой боковой поверхности цилиндра получился квадрат, отношение высоты к радиусу должно быть равно \(\frac{4}{\pi}\) или, точнее, \(\frac{4}{\pi}\sqrt{2}\).

Поговорим о том, как мы можем получить это отношение. Представим, что у нас есть цилиндр с высотой \(h\) и радиусом \(r\). Развернем его боковую поверхность и получим прямоугольник. Площадь этого прямоугольника будет равна периметру основания цилиндра, умноженному на высоту. Для кубического прямоугольника (то есть прямоугольника, у которого все стороны равны) периметр равен \(4s\), где \(s\) - длина стороны.

Итак, если хотим, чтобы разверткой боковой поверхности цилиндра был квадрат, то площадь этого прямоугольника (которая равна площади боковой поверхности цилиндра) должна быть равна \(s^2\), где \(s\) - длина стороны квадрата.

Теперь, учитывая, что площадь боковой поверхности цилиндра равна \(2\pi rh\), а площадь квадрата равна \(s^2\), мы получаем уравнение:

\(2\pi rh = s^2\)

Заметим, что сторона \(s\) квадрата равна длине окружности основания цилиндра, а формула для длины окружности - \(2\pi r\).

Таким образом, уравнение можно переписать в следующем виде:

\(2\pi rh = (2\pi r)^2\)

Разделим обе части уравнения на \(2\pi r\):

\(h = 2\pi r\)

Таким образом, получили, что отношение высоты к радиусу цилиндра должно быть равно \(2\pi\).

Однако, мы хотим, чтобы разверткой боковой поверхности был квадрат, а не кубический прямоугольник. Это означает, что сторона квадрата должна быть равна периметру окружности основания цилиндра, а формула для периметра окружности - \(2\pi r\). Таким образом, мы должны разделить длину стороны квадрата на \(\pi\) и получаем:

отношение высоты к радиусу цилиндра = \(\frac{2\pi r}{\pi r} = 2\)

Тем не менее, чтобы получить именно квадрат, нам нужно, чтобы длины сторон квадрата и окружности основания цилиндра были равны. Длина стороны квадрата равна \(4r\), а длина окружности основания цилиндра - \(2\pi r\). Таким образом, мы должны разделить длину стороны квадрата на длину окружности основания цилиндра и получаем:

отношение высоты к радиусу цилиндра = \(\frac{4r}{2\pi r}\) = \(\frac{2}{\pi}\)

Таким образом, чтобы разверткой боковой поверхности цилиндра был квадрат, отношение высоты к радиусу должно быть равно \(\frac{2}{\pi}\) или, точнее, \(\frac{2}{\pi}\sqrt{2}\).