Какое отношение потенциальной энергии сжатой пружины (epi/ep2) в случае, если скорость шара во время первого удара

Для решения этой задачи нам потребуется знание о законе сохранения механической энергии. Согласно этому закону, сумма кинетической и потенциальной энергии тела остается постоянной, если на него не действуют внешние силы.

Изучим сначала ситуацию с первым ударом шара. Пусть масса шара равна m, а его скорость до удара равна 2v. Мы знаем, что кинетическая энергия тела равна \( K = \frac{1}{2}mv^2 \). Также у нас есть потенциальная энергия сжатой пружины, обозначим ее через epi.

Поскольку перед ударом шара потенциальная энергия сжатой пружины равна нулю, то всю механическую энергию в этот момент составляет кинетическая энергия. Таким образом, в начальный момент времени кинетическая энергия равна полной энергии: \( E_{нач} = K_{нач} = \frac{1}{2}m(2v)^2 = 2mv^2 \).

Теперь рассмотрим ситуацию с вторым ударом шара. Пусть скорость шара в этот момент равна v. Кинетическая энергия тела в этот момент будет равна \( K_{кон} = \frac{1}{2}mv^2 \). Поскольку потенциальная энергия сжатой пружины будет в этот момент отлична от нуля, обозначим ее через ep2.

Закон сохранения механической энергии гласит, что сумма начальной кинетической энергии и начальной потенциальной энергии должна быть равна сумме конечной кинетической энергии и конечной потенциальной энергии. То есть, \( K_{нач} + E_{нач} = K_{кон} + E_{кон} \).

В начальный момент времени у нас имеется только кинетическая энергия, поэтому начальная потенциальная энергия равна нулю. В конечный момент времени мы имеем как кинетическую, так и потенциальную энергию. Используя это, мы можем записать уравнение:

\[ 2mv^2 + 0 = \frac{1}{2}mv^2 + ep2 \]

Упрощая эту формулу, получаем:

\[ 2mv^2 = \frac{1}{2}mv^2 + ep2 \]

Теперь найдем потенциальную энергию сжатой пружины. Вычтем \( \frac{1}{2}mv^2 \) с обеих сторон уравнения, и получим:

\[ 2mv^2 - \frac{1}{2}mv^2 = ep2 \]

\[ \frac{3}{2}mv^2 = ep2 \]

Теперь найдем отношение потенциальной энергии сжатой пружины к начальной потенциальной энергии epi:

\[ \frac{epi}{ep2} = \frac{ep2}{ep2} = \frac{\frac{3}{2}mv^2}{\frac{3}{2}mv^2} = 1 \]

Таким образом, получаем, что отношение потенциальной энергии сжатой пружины (epi) к потенциальной энергии сжатой пружины на конечном этапе (ep2) равно 1.

Ответ: b) \( \frac{1}{2} \)