Какое отношение площадей треугольников BDA и ABC, если точки D и E делят стороны BC и BA в соотношении

Чтобы найти отношение площадей треугольников BDA и ABC, мы можем воспользоваться свойством сходства треугольников. Так как точка D делит сторону BC в отношении 5:3, мы можем сказать, что отрезок BD равен 5/8 от стороны BC, а отрезок CD равен 3/8 от стороны BC. Аналогично, отрезок AE равен 3/8 от стороны BA, а отрезок EA равен 5/8 от стороны BA.

Теперь давайте рассмотрим площади. Площадь треугольника ABC равна:

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BA \cdot \sin(\angle ABC)\]

Аналогично, площадь треугольника BDA равна:

\[S_{BDA} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot BA \cdot \sin(\angle BDA)\]

Теперь нам нужно выразить площадь треугольника BDA через площадь треугольника ABC. Мы знаем, что \(BD = \frac{5}{8}BC\) и \(\sin(\angle BDA) = \sin(\angle ABC)\), поскольку углы BDA и ABC являются соответствующими углами.

Подставим эти значения в формулу для площади треугольника BDA:

\[S_{BDA} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{5}{8}BC\right) \cdot BA \cdot \sin(\angle ABC)\]

Теперь мы можем упростить выражение, чтобы найти отношение площадей:

\[\frac{S_{BDA}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{5}{8}BC\right) \cdot BA \cdot \sin(\angle ABC)}{\frac{1}{2} \cdot BC \cdot BA \cdot \sin(\angle ABC)}\]

Множители \(\frac{1}{2}\), BA и \(\sin(\angle ABC)\) убираются:

\[\frac{S_{BDA}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{5}{8}BC}{BC} = \frac{5}{8}\]

Таким образом, отношение площадей треугольников BDA и ABC равно 5:8.