Какое отношение объемов имеют конус и цилиндр, если их полные поверхности равны? Включите детальный рисунок

Анализ задачи:
У нас есть конус и цилиндр с равными полными поверхностями, и мы хотим найти отношение их объемов. Для решения этой задачи мы можем использовать следующие шаги:

Шаг 1: Понять основные понятия
Прежде чем начать решение задачи, давайте определим основные понятия: объем конуса и объем цилиндра.

Объем конуса (\(V_{к}\)) вычисляется по формуле: \(V_{к} = \frac{1}{3} \pi r_{к}^2 h_{к}\), где \(r_{к}\) - радиус основания конуса, \(h_{к}\) - высота конуса.

Объем цилиндра (\(V_{ц}\)) вычисляется по формуле: \(V_{ц} = \pi r_{ц}^2 h_{ц}\), где \(r_{ц}\) - радиус основания цилиндра, \(h_{ц}\) - высота цилиндра.

Шаг 2: Использование формул для объема
Мы можем использовать формулы объема, чтобы выразить радиус и высоту цилиндра через радиус и высоту конуса.

Для этого мы можем использовать соотношение: \(r_{ц} = 2 \cdot r_{к}\) и \(h_{ц} = 3 \cdot h_{к}\).

Шаг 3: Вычисление объемов
Подставив соотношение для радиуса и высоты цилиндра в формулу для объема цилиндра, мы получим выражение для объема цилиндра через радиус и высоту конуса.
\[V_{ц} = \pi (2r_{к})^2 (3h_{к}) = 4\pi r_{к}^2 h_{к}\]

Теперь у нас есть выражение для объема цилиндра через радиус и высоту конуса.

Шаг 4: Нахождение отношения объемов
У нас есть выражение для объема конуса: \(V_{к} = \frac{1}{3} \pi r_{к}^2 h_{к}\) и выражение для объема цилиндра: \(V_{ц} = 4\pi r_{к}^2 h_{к}\).

Теперь мы можем выразить отношение объемов конуса и цилиндра: \(\frac{V_{к}}{V_{ц}} = \frac{\frac{1}{3} \pi r_{к}^2 h_{к}}{4\pi r_{к}^2 h_{к}}\).

Сокращая подобные члены, мы получаем: \(\frac{V_{к}}{V_{ц}} = \frac{1}{12}\).

Значит, отношение объемов конуса и цилиндра составляет 1 к 12.

Вложение:
Для наглядности, приведу рисунок, где \(r_{к}\) - радиус основания конуса, \(h_{к}\) - высота конуса, \(r_{ц}\) - радиус основания цилиндра, \(h_{ц}\) - высота цилиндра.