При каком значении k векторы m и n становятся 1) коллинеарными? 2) перпендикулярными?

Конечно, я могу помочь решить эту задачку! Давайте рассмотрим все шаги по порядку.

1) Чтобы определить, когда векторы \(m\) и \(n\) становятся коллинеарными, нам нужно найти такое значение \(k\), при котором вектор \(m\) будет параллельным вектору \(n\). Для этого нам необходимо равенство:

\[m = kn\]

где \(m\) и \(n\) - заданные векторы, а \(k\) - неизвестное значение.

Давайте произведем операцию умножения и сравним получившиеся векторы:

\[m_1 \mathbf{i} + m_2 \mathbf{j} = k(n_1 \mathbf{i} + n_2 \mathbf{j})\]

Теперь сравниваем коэффициенты при соответствующих компонентах. Получаем следующую систему уравнений:

\[m_1 = kn_1\]
\[m_2 = kn_2\]

Решим эту систему с помощью метода замены переменных. Поделим первое уравнение на второе:

\[\frac{m_1}{m_2} = \frac{k n_1}{k n_2}\]

Теперь мы можем сократить \(k\) с обеих сторон:

\[\frac{m_1}{m_2} = \frac{n_1}{n_2}\]

Из этого равенства мы можем сделать вывод, что векторы \(m\) и \(n\) будут коллинеарными, если и только если отношение между их компонентами будет постоянным. То есть, если \(\frac{m_1}{m_2} = \frac{n_1}{n_2}\).

2) Чтобы определить, когда векторы \(m\) и \(n\) становятся перпендикулярными, нам нужно найти такое значение \(k\), при котором скалярное произведение векторов равно нулю. Для этого нам необходимо равенство:

\[m \cdot n = 0\]

где \(\cdot\) обозначает скалярное произведение векторов.

Расшифруем это равенство, используя компонентную форму векторов \(m\) и \(n\):

\[m_1 n_1 + m_2 n_2 = 0\]

Теперь заметим, что это уравнение может быть записано в виде:

\[k n_1 n_1 + k n_2 n_2 = 0\]

Теперь выносим \(k\) за скобку:

\[k (n_1 n_1 + n_2 n_2) = 0\]

Чтобы произведение \(k\) и скобки было равно нулю, либо \(k\), либо сама скобка должны быть равны нулю. То есть:

\[k = 0\] либо \[n_1 n_1 + n_2 n_2 = 0\]

Однако, чтобы этот квадратный трехчлен был равен нулю, его коэффициенты должны быть равны нулю. То есть:

\[n_1 = 0\] и \[n_2 = 0\]

Таким образом, векторы \(m\) и \(n\) будут перпендикулярными, если и только если \(k = 0\) и \(n_1 = 0\) и \(n_2 = 0\).

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам разобраться в задаче! Я всегда готов помочь!