Какое отношение между объемами шара и цилиндра, если высота цилиндра равна его диаметру, а радиус шара равен радиусу

Давайте начнем с определения формул для вычисления объемов шара и цилиндра.

Объем шара можно вычислить по формуле:

\[ V_\text{шара} = \frac{4}{3}\pi r_\text{шара}^3, \]

где \( V_\text{шара} \) - объем шара, а \( r_\text{шара} \) - радиус шара.

Объем цилиндра можно вычислить по формуле:

\[ V_\text{цилиндра} = \pi r_\text{цилиндра}^2 h_\text{цилиндра}, \]

где \( V_\text{цилиндра} \) - объем цилиндра, \( r_\text{цилиндра} \) - радиус цилиндра, а \( h_\text{цилиндра} \) - высота цилиндра.

Теперь проведем несколько выкладок, чтобы найти отношение между объемами шара и цилиндра.

Условие говорит, что высота цилиндра равна его диаметру. Поскольку диаметр цилиндра - это двойной радиус цилиндра, то мы можем записать:

\[ h_\text{цилиндра} = 2r_\text{цилиндра}. \]

Также условие говорит, что радиус шара равен радиусу цилиндра, поэтому:

\[ r_\text{шара} = r_\text{цилиндра}. \]

Теперь, зная эти значения, давайте подставим их в формулы для объемов.

Для шара:

\[ V_\text{шара} = \frac{4}{3}\pi r_\text{шара}^3. \]

Заменяем \( r_\text{шара} \) на \( r_\text{цилиндра} \):

\[ V_\text{шара} = \frac{4}{3}\pi r_\text{цилиндра}^3. \]

Для цилиндра:

\[ V_\text{цилиндра} = \pi r_\text{цилиндра}^2 h_\text{цилиндра}. \]

Заменяем \( h_\text{цилиндра} \) на \( 2r_\text{цилиндра} \):

\[ V_\text{цилиндра} = \pi r_\text{цилиндра}^2 (2r_\text{цилиндра}). \]

Теперь сравним объемы шара и цилиндра:

\[ \frac{V_\text{шара}}{V_\text{цилиндра}} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_\text{цилиндра}^3}{\pi r_\text{цилиндра}^2 (2r_\text{цилиндра})}. \]

Упростим эту дробь:

\[ \frac{V_\text{шара}}{V_\text{цилиндра}} = \frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2r_\text{цилиндра}}. \]

Теперь упростим последнее выражение:

\[ \frac{V_\text{шара}}{V_\text{цилиндра}} = \frac{2}{3r_\text{цилиндра}}. \]

Итак, получили отношение между объемами шара и цилиндра:

\[ \frac{V_\text{шара}}{V_\text{цилиндра}} = \frac{2}{3r_\text{цилиндра}}. \]

Надеюсь, данный ответ понятен и содержит все необходимые пояснения и шаги решения!