Какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника, если один катет равен 12 см, а другой катет больше гипотенузы

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать теорему Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Пусть один катет равен 12 см, а второй катет больше гипотенузы на \(x\) см. Обозначим гипотенузу как \(c\).

Тогда по теореме Пифагора имеем:

\[c^2 = 12^2 + (c + x)^2\]

Для решения этого уравнения, раскроем скобки:

\[c^2 = 144 + c^2 + 2cx + x^2\]

Сократим одинаковые слагаемые:

\[0 = 144 + 2cx + x^2\]

Перенесем числа влево:

\[x^2 + 2cx + 144 = 0\]

Данное уравнение является квадратным трехчленом и может быть решено с помощью формулы дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

Где в нашем случае \(a = 1\), \(b = 2c\) и \(c = 144\). Подставим значения в формулу:

\[D = (2c)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144\]

\[D = 4c^2 - 576\]

Так как у нас есть условие "другой катет больше гипотенузы", то \(x > 0\). Это значит, что дискриминант должен быть больше нуля: \(D > 0\).

Решим это неравенство:

\[4c^2 - 576 > 0\]

\[4c^2 > 576\]

Разделим обе части на 4:

\[c^2 > 144\]

\[c > \sqrt{144}\]

\[c > 12\]

Таким образом, гипотенуза должна быть больше 12 см.

Теперь найдем саму длину гипотенузы. Воспользуемся формулой для нахождения корней:

\[c = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим изначальные значения:

\[c = \frac{-2c + \sqrt{4c^2 - 576}}{2}\]

\[c = \frac{-2c + \sqrt{4c^2 - 576}}{2}\]

Упростим:

\[c = -c + \sqrt{c^2 - 144}\]

\[2c = \sqrt{c^2 - 144}\]

Возводим обе части в квадрат:

\[4c^2 = c^2 - 144\]

\[3c^2 = 144\]

Поделим обе части на 3:

\[c^2 = 48\]

Возьмем положительный корень, так как длина не может быть отрицательной:

\[c = \sqrt{48}\]

Теперь подставим значение в катет:

\[x = c - 12 = \sqrt{48} - 12\]

\[x \approx 0.69\]

Таким образом, длина гипотенузы прямоугольного треугольника составляет около \(\sqrt{48}\) см, а значение \(x\) (разница между другим катетом и гипотенузой) около 0.69 см.