Какое отношение имеет площадь боковой поверхности цилиндра к площади поверхности шара, если шар описан вокруг цилиндра

Для решения данной задачи, давайте разберемся с понятиями площади боковой поверхности цилиндра и площади поверхности шара.

Площадь боковой поверхности цилиндра определяется формулой \(2\pi r h\), где \(\pi\) — число пи (примерно 3.14159), \(r\) — радиус основания цилиндра, \(h\) — высота цилиндра.

Площадь поверхности шара определяется формулой \(4\pi r^2\), где \(\pi\) также обозначает число пи, а \(r\) — радиус шара.

Согласно условию задачи, высота цилиндра в три раза больше диаметра его основания. Зная это, мы можем выразить радиус основания цилиндра в зависимости от его высоты. Диаметр равен двукратному радиусу, следовательно, диаметр равен \(\frac{h}{3} \times 2 = \frac{2h}{3}\). Тогда радиус основания цилиндра будет равен \(\frac{r}{2} = \frac{h}{3}\), или, зная, что \(r = \frac{h}{6}\).

Теперь мы можем подставить полученное значение радиуса в формулы для площадей.

Площадь боковой поверхности цилиндра:
\[
S_{\text{бок}} = 2\pi r h = 2\pi \cdot \frac{h}{6} \cdot h = \frac{\pi h^2}{3}
\]

Площадь поверхности шара:
\[
S_{\text{шара}} = 4\pi r^2 = 4\pi \left(\frac{h}{6}\right)^2 = \frac{\pi h^2}{9}
\]

Теперь мы можем выразить отношение площади боковой поверхности цилиндра к площади поверхности шара:

\[
\frac{S_{\text{бок}}}{S_{\text{шара}}} = \frac{\frac{\pi h^2}{3}}{\frac{\pi h^2}{9}} = \frac{9}{3} = 3
\]

Ответ: Отношение площади боковой поверхности цилиндра к площади поверхности шара равно 3.