Какое отношение будет между периодами гармонических колебаний двух шариков, если они прикреплены к одинаковым пружинам

Чтобы найти отношение между периодами гармонических колебаний двух шариков, мы можем использовать формулу для периода колебаний \(T\) в системе пружинной массы:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\]

где \(m\) - масса шарика, \(k\) - коэффициент упругости пружины.

Для нахождения отношения периодов колебаний между двумя шариками, давайте сначала выразим их массы через их объемы и плотности:

Масса алюминиевого шарика \(m_{\text{ал}} = \text{плотность}_{\text{ал}} \times V_{\text{ал}}\)
Масса оловянного шарика \(m_{\text{олов}} = \text{плотность}_{\text{олов}} \times V_{\text{олов}}\)

Так как диаметры шариков одинаковы, объемы шариков связаны следующим образом:

\(V_{\text{ал}} = \frac{4}{3}\pi r^3_{\text{ал}}\)
\(V_{\text{олов}} = \frac{4}{3}\pi r^3_{\text{олов}}\)

Теперь подставим эти значения в формулу периода колебаний:

\[T_{\text{ал}} = 2\pi\sqrt{\frac{m_{\text{ал}}}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{\text{плотность}_{\text{ал}} \times V_{\text{ал}}}{k}}\]
\[T_{\text{олов}} = 2\pi\sqrt{\frac{m_{\text{олов}}}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{\text{плотность}_{\text{олов}} \times V_{\text{олов}}}{k}}\]

Теперь давайте найдем отношение периодов колебаний между двумя шариками:

\(\frac{T_{\text{ал}}}{T_{\text{олов}}} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{\text{плотность}_{\text{ал}} \times V_{\text{ал}}}{k}}}{2\pi\sqrt{\frac{\text{плотность}_{\text{олов}} \times V_{\text{олов}}}{k}}}\)

Здесь \(2\pi\) и коэффициент упругости \(k\) сокращаются, оставляя отношение масс и объемов:

\(\frac{T_{\text{ал}}}{T_{\text{олов}}} = \sqrt{\frac{\text{плотность}_{\text{ал}} \times V_{\text{ал}}}{\text{плотность}_{\text{олов}} \times V_{\text{олов}}}} = \sqrt{\frac{\text{плотность}_{\text{ал}}}{\text{плотность}_{\text{олов}}}}\)

Теперь мы можем подставить значения плотностей и найти отношение периодов колебаний между алюминиевым и оловянным шариками:

\(\frac{T_{\text{ал}}}{T_{\text{олов}}} = \sqrt{\frac{2.7 \times 10^3 \, \text{кг/м}^3}{7.3 \times 10^3 \, \text{г/м}^3}}\)

Выполняя вычисления, получаем:

\(\frac{T_{\text{ал}}}{T_{\text{олов}}} \approx 0.67\)

Таким образом, отношение периодов колебаний между алюминиевым и оловянным шариками составляет около 0.67. Это означает, что период колебания оловянного шарика будет примерно в 1.5 раза больше, чем период колебания алюминиевого шарика.