Какое неравенство эквивалентно 3x+2/x^2+x-2

Хорошо! Для решения этой задачи мы будем использовать метод перебора значений. Давайте разложим левую часть неравенства на простейшие дроби и посмотрим, что у нас получится.

Для начала, проведем факторизацию знаменателя \(x^2 + x - 2\). Мы ищем два числа, произведение которых равно -2, а сумма равна 1. Когда мы находим эти числа, разложим знаменатель на множители. Вот как это можно сделать:

\[x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)\]

Теперь мы можем записать наше исходное неравенство так:

\[\frac{3x + 2}{(x - 1)(x + 2)}\]

Наша цель - найти неравенство, эквивалентное данному. Давайте рассмотрим каждую часть дроби по отдельности.

1. \(\frac{3x}{(x - 1)(x + 2)}\)

Мы видим, что \(3x\) в числителе является линейной функцией. Предлагаю рассмотреть случай, когда \(x > 0\) и случай, когда \(x < 0\). Подставим значения в неравенство и посмотрим, как оно меняется:

- При \(x > 0\): \(3x > 0\)

- При \(x < 0\): \(3x < 0\)

Таким образом, \(\frac{3x}{(x - 1)(x + 2)}\) будет положительным при \(x > 0\) и отрицательным при \(x < 0\).

2. \(\frac{2}{(x - 1)(x + 2)}\)

Теперь рассмотрим только второе слагаемое. Здесь мы видим постоянное значение 2. Рассмотрим два случая: когда 2 положительно и когда 2 отрицательно.

- Когда 2 положительно: \(\frac{2}{(x - 1)(x + 2)} > 0\)
- Когда 2 отрицательно: \(\frac{2}{(x - 1)(x + 2)} < 0\)

Теперь, чтобы получить ответ, мы должны соединить значения обоих частей дроби воедино. Вот как это делается:

- Когда \(x > 0\) и 2 положительно: \(\frac{3x + 2}{(x - 1)(x + 2)} > 0\)
- Когда \(x < 0\) и 2 положительно: \(\frac{3x + 2}{(x - 1)(x + 2)} < 0\)
- Когда \(x > 0\) и 2 отрицательно: \(\frac{3x + 2}{(x - 1)(x + 2)} < 0\)
- Когда \(x < 0\) и 2 отрицательно: \(\frac{3x + 2}{(x - 1)(x + 2)} > 0\)

Таким образом, у нас получается 4 варианта неравенств, эквивалентных исходному \(3x + \frac{2}{x^2 + x - 2}\), в зависимости от значения \(x\):

1. Если \(x > 0\) и 2 положительно, то \(\frac{3x + 2}{(x - 1)(x + 2)} > 0\)
2. Если \(x < 0\) и 2 положительно, то \(\frac{3x + 2}{(x - 1)(x + 2)} < 0\)
3. Если \(x > 0\) и 2 отрицательно, то \(\frac{3x + 2}{(x - 1)(x + 2)} < 0\)
4. Если \(x < 0\) и 2 отрицательно, то \(\frac{3x + 2}{(x - 1)(x + 2)} > 0\)

Это и есть полные и обоснованные ответы на данную задачу. Мы учли все возможные значения переменной \(x\) и получили 4 неравенства, эквивалентных исходному неравенству \(3x + \frac{2}{x^2 + x - 2}\).