Какое наименьшее значение у функции y=e^2x-14e^x-2 на интервале [0,2]?

Какое наименьшее значение у функции y=e^2x-14e^x-2 на интервале [0,2]?
ИИ помощник ИИ помощник в учёбе
Polina_8825

Polina_8825

Для решения этой задачи, нам необходимо найти наименьшее значение функции y=e2x14ex2 на интервале [0,2].

Шаг 1: Найдем производную функции y по переменной x. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции и правилом дифференцирования суммы. Производная функции y будет равна:

dydx=ddx(e2x)ddx(14ex)ddx(2)

Производная степенной функции e2x равна 2e2x, производная функции 14ex равна 14ex, а производная константы 2 равна 0. Подставив значения, получим:

dydx=2e2x14ex0=2e2x14ex

Шаг 2: Найдем точки, в которых производная равна нулю. Для этого приравниваем производную к нулю и решаем полученное уравнение:

2e2x14ex=0

Факторизуем данное уравнение:

2ex(ex7)=0

Отсюда получаем два возможных значения:

ex=0 или ex=7

Так как экспонента ex не может быть равной нулю, то решением будет значение ex=7.

Шаг 3: Найдем значению x, для которого ex=7. Для этого применим логарифмирование к обеим сторонам уравнения:

ln(ex)=ln(7)

По свойству логарифма ln(ex)=x, поэтому получаем:

x=ln(7)

Шаг 4: Проверим найденное значение x на интервале [0,2]. Подставим x=ln(7) в исходную функцию:

y=e2x14ex2=e2ln(7)14eln(7)2

Используя свойства экспоненциальной и логарифмической функции, упростим это выражение:

y=721472=49982=51

Шаг 5: Полученное значение y=51 является наименьшим значением функции на интервале [0,2]. Таким образом, ответ на задачу составляет y=51 при x=ln(7).

Окончательный ответ: Наименьшее значение функции y=e2x14ex2 на интервале [0,2] равно 51.
Знаешь ответ?
Задать вопрос
Привет!
hello