Какое наименьшее значение у функции y=e^2x-14e^x-2 на интервале [0,2]?

Для решения этой задачи, нам необходимо найти наименьшее значение функции \(y = e^{2x} - 14e^x - 2\) на интервале \([0, 2]\).

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\). Для этого воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции и правилом дифференцирования суммы. Производная функции \(y\) будет равна:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}}(e^{2x}) - \frac{{d}}{{dx}}(14e^x) - \frac{{d}}{{dx}}(2)
\]

Производная степенной функции \(e^{2x}\) равна \(2e^{2x}\), производная функции \(14e^x\) равна \(14e^x\), а производная константы \(2\) равна \(0\). Подставив значения, получим:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 2e^{2x} - 14e^x - 0 = 2e^{2x} - 14e^x
\]

Шаг 2: Найдем точки, в которых производная равна нулю. Для этого приравниваем производную к нулю и решаем полученное уравнение:

\[
2e^{2x} - 14e^x = 0
\]

Факторизуем данное уравнение:

\[
2e^x(e^x - 7) = 0
\]

Отсюда получаем два возможных значения:

\(e^x = 0\) или \(e^x = 7\)

Так как экспонента \(e^x\) не может быть равной нулю, то решением будет значение \(e^x = 7\).

Шаг 3: Найдем значению \(x\), для которого \(e^x = 7\). Для этого применим логарифмирование к обеим сторонам уравнения:

\[
\ln(e^x) = \ln(7)
\]

По свойству логарифма \(\ln(e^x) = x\), поэтому получаем:

\[
x = \ln(7)
\]

Шаг 4: Проверим найденное значение \(x\) на интервале \([0, 2]\). Подставим \(x = \ln(7)\) в исходную функцию:

\[
y = e^{2x} - 14e^x - 2 = e^{2\ln(7)} - 14e^{\ln(7)} - 2
\]

Используя свойства экспоненциальной и логарифмической функции, упростим это выражение:

\[
y = 7^2 - 14 \cdot 7 - 2 = 49 - 98 - 2 = -51
\]

Шаг 5: Полученное значение \(y = -51\) является наименьшим значением функции на интервале \([0, 2]\). Таким образом, ответ на задачу составляет \(y = -51\) при \(x = \ln(7)\).

Окончательный ответ: Наименьшее значение функции \(y=e^{2x}-14e^x-2\) на интервале \([0, 2]\) равно \(-51\).