Какое наименьшее значение принимает выражение 4x + (81/25x), при условии, что x больше нуля?

Для решения данной задачи мы должны найти наименьшее значение выражения \(4x + \frac{81}{25x}\) при условии, что \(x\) больше нуля.

Для начала приведем выражение к общему знаменателю:
\[4x + \frac{81}{25x} = \frac{100x^2}{25x} + \frac{81}{25x} = \frac{100x^2 + 81}{25x}.\]

Теперь нашей целью является минимизация этого выражения. Чтобы найти его наименьшее значение, мы можем использовать производные. Возьмем производную по \(x\) и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки.

\[\frac{d}{dx}\left(\frac{100x^2 + 81}{25x}\right) = 0.\]

Давайте произведем несколько преобразований:

\[\frac{d}{dx}\left(\frac{100x^2 + 81}{25x}\right) = 0\]
\[\frac{100x^2 + 81}{25x^2} - \frac{100}{25x} = 0.\]

Сокращаем общий множитель \(25x\) и перепишем уравнение:

\[\frac{100x^2 + 81 - 100}{25x^2} = 0\]
\[\frac{100x^2 - 19}{25x^2} = 0.\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение для \(x\):

\[100x^2 - 19 = 0.\]

Решим его, применив формулу для квадратного уравнения: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\).

В данном случае, у нас \(a = 100\), \(b = 0\), \(c = -19\):

\[x = \frac{-0 \pm \sqrt{0^2-4 \cdot 100 \cdot (-19)}}{2 \cdot 100}.\]

Продолжим с вычислениями:

\[x = \frac{\pm \sqrt{7600}}{200}.\]

Так как условие говорит, что \(x\) должно быть больше нуля, мы не можем взять отрицательный корень. Поэтому рассмотрим только положительный корень:

\[x = \frac{\sqrt{7600}}{200}.\]

Для нахождения наименьшего значения выражения подставим этот \(x\) обратно в изначальное выражение:

\[4x + \frac{81}{25x} = 4 \cdot \frac{\sqrt{7600}}{200} + \frac{81}{25 \cdot \frac{\sqrt{7600}}{200}}.\]

После простых вычислений получаем:

\[4x + \frac{81}{25x} \approx 4 \cdot 2.76 + \frac{81}{2.76} \approx 11.04 + 29.34 \approx 40.38.\]

Итак, наименьшее значение выражения равно приближенно 40.38 при условии, что \(x = \frac{\sqrt{7600}}{200}\).