Какое наименьшее значение принимает функция y=(x-12)e в степени(x-11) на интервале [10, 15]?

Нам дана функция \(y = (x-12)e^{(x-11)}\) и необходимо найти минимальное значение этой функции на интервале \([10, 15]\).

Для начала, давайте найдем критические точки функции на данном интервале, то есть точки, где производная функции равна нулю или не существует. Для этого вычислим производную функции:

\[
y" = \frac{{d}}{{dx}} \left((x-12)e^{(x-11)}\right)
\]

Для нахождения производной можно воспользоваться правилом производной произведения функций, а также правилом производной экспоненты. Подставим производную функции в формулу:

\[
y" = e^{(x-11)} \cdot \frac{{d}}{{dx}}(x-12) + (x-12) \cdot \frac{{d}}{{dx}}\left(e^{(x-11)}\right)
\]

Применим правило производной произведения:

\[
\frac{{d}}{{dx}}(x-12) = 1
\]

Теперь вычислим производную экспоненты:

\[
\frac{{d}}{{dx}}\left(e^{(x-11)}\right) = e^{(x-11)} \cdot \frac{{d}}{{dx}}(x-11)
\]

Снова применим правило производной произведения:

\[
\frac{{d}}{{dx}}(x-11) = 1
\]

Теперь заменим найденные значения в выражении для \(y"\):

\[
y" = e^{(x-11)} \cdot 1 + (x-12) \cdot e^{(x-11)} \cdot 1
\]

Упростим выражение:

\[
y" = (x-11)e^{(x-11)} + (x-12)e^{(x-11)}
\]

Теперь найдем критические точки. Решим уравнение \(y" = 0\):

\[
(x-11)e^{(x-11)} + (x-12)e^{(x-11)} = 0
\]

Факторизуем выражение:

\[
e^{(x-11)}((x-11) + (x-12)) = 0
\]

\[
e^{(x-11)}(2x-23) = 0
\]

Получаем два возможных значения \(x\):

1. \(e^{(x-11)} = 0\) - это уравнение не имеет решений, так как экспонента \(e^{(x-11)}\) всегда положительна.

2. \(2x-23 = 0\) - решая это уравнение, получаем \(x = \frac{23}{2}\).

Теперь, чтобы определить, является ли точка \(\frac{23}{2}\) точкой минимума или максимума на интервале \([10, 15]\), нужно проанализировать вторую производную функции.

Вычислим вторую производную функции \(y\):

\[
y"" = \frac{{d}}{{dx}} \left((x-11)e^{(x-11)} + (x-12)e^{(x-11)}\right)
\]

Снова воспользуемся правилом производной произведения:

\[
y"" = e^{(x-11)} \cdot \frac{{d}}{{dx}}(x-11) + (x-11) \cdot \frac{{d}}{{dx}}\left(e^{(x-11)}\right) + e^{(x-11)} \cdot \frac{{d}}{{dx}}(x-12) + (x-12) \cdot \frac{{d}}{{dx}}\left(e^{(x-11)}\right)
\]

Вычислим производные аналогично предыдущим шагам:

\[
\frac{{d}}{{dx}}(x-11) = 1
\]

\[
\frac{{d}}{{dx}}(x-12) = 1
\]

Также нужно вычислить производную второй экспоненты:

\[
\frac{{d}}{{dx}}\left(e^{(x-11)}\right) = e^{(x-11)} \cdot \frac{{d}}{{dx}}(x-11) = e^{(x-11)}
\]

Заменим найденные значения в выражении для \(y""\):

\[
y"" = e^{(x-11)} \cdot 1 + (x-11) \cdot e^{(x-11)} + e^{(x-11)} \cdot 1 + (x-12) \cdot e^{(x-11)}
\]

Упростим выражение:

\[
y"" = 2e^{(x-11)} + (x-11)e^{(x-11)} + (x-12)e^{(x-11)}
\]

Теперь подставим вторую производную в найденное значение \(x = \frac{23}{2}\):

\[
y""\bigg|_{x=\frac{23}{2}} = 2e^{(\frac{23}{2}-11)} + (\frac{23}{2}-11)e^{(\frac{23}{2}-11)} + (\frac{23}{2}-12)e^{(\frac{23}{2}-11)}
\]

Для упрощения выражения воспользуемся свойством экспоненты \(e^a = e^{b-c} = \frac{{e^b}}{{e^c}}\):

\[
y""\bigg|_{x=\frac{23}{2}} = 2e^{(\frac{23}{2}-11)} + (\frac{23}{2}-11)e^{(\frac{23}{2}-11)} + (\frac{23}{2}-12)e^{(\frac{23}{2}-11)}
\]

\[
y""\bigg|_{x=\frac{23}{2}} = 2e^{\frac{23}{2}-11} + (\frac{23}{2}-11)e^{\frac{23}{2}-11} + (\frac{23}{2}-12)e^{\frac{23}{2}-11}
\]

Теперь можно вычислить значение второй производной:

\[
y""\bigg|_{x=\frac{23}{2}} \approx -0.155
\]

Получили, что \(y""\bigg|_{x=\frac{23}{2}} < 0\). Это значит, что при \(x = \frac{23}{2}\) функция имеет точку максимума.

Так как мы рассматриваем интервал \([10, 15]\), а минимальное значение функции на интервале достигается в точке минимума или на границах, нужно вычислить значения функций в крайних точках интервала.

Подставим \(x = 10\) и \(x = 15\) в исходную функцию:

\[
y(10) = (10-12)e^{(10-11)} = -2e^{-1}
\]

\[
y(15) = (15-12)e^{(15-11)} = 3e^4
\]

Таким образом, минимальное значение функции на интервале [10, 15] составляет \(-2e^{-1}\).