Какое наименьшее значение принимает функция y=7cosx−14x+3+7π на отрезке [− 2π/3

Для решения данной задачи мы должны найти минимальное значение функции \( y = 7\cos(x) - 14x + 3 + 7\pi \) на заданном отрезке \( \left[-\frac{2\pi}{3}, 0\right] \). Давайте разделим решение на несколько шагов:

Шаг 1: Найдем критические точки функции, то есть точки, где производная равна нулю или не существует. Для этого возьмем производную от \( y \) по переменной \( x \):
\[ y" = -7\sin(x) - 14 \]
Чтобы найти критические точки, приравняем \( y" \) к нулю и решим полученное уравнение:
\[ -7\sin(x) - 14 = 0 \]
\[ \sin(x) = -2 \]
Однако значений синуса, лежащих в диапазоне от -1 до 1, не существует. Это значит, что производная \( y" \) не обращается в ноль на всем отрезке \( \left[-\frac{2\pi}{3}, 0\right] \). В таком случае, мы можем перейти к следующему шагу.

Шаг 2: Определить значения функции на границах отрезка. Подставим \( x = -\frac{2\pi}{3} \) и \( x = 0 \) в исходное уравнение, чтобы найти значения функции на этих точках:
\[ y(-\frac{2\pi}{3}) = 7\cos(-\frac{2\pi}{3}) - 14(-\frac{2\pi}{3}) + 3 + 7\pi \]
\[ y(-\frac{2\pi}{3}) = 7\cdot\frac{1}{2} + \frac{28\pi}{3} + 3 + 7\pi \]
\[ y(-\frac{2\pi}{3}) = \frac{7}{2} + \frac{28\pi}{3} + 3 + 7\pi \]

\[ y(0) = 7\cos(0) - 14\cdot 0 + 3 + 7\pi \]
\[ y(0) = 7 - 14\cdot 0 + 3 + 7\pi \]
\[ y(0) = 7 + 3 + 7\pi \]

Наше задание требует, чтобы мы нашли наименьшее значение функции на отрезке. Из-за того, что рассматриваемая функция \( y \) имеет квадратичную функцию \(-14x\) с коэффициентом, отрицательным, мы видим, что функция будет убывать на всем заданном отрезке.
То есть, наименьшее значение функции на данном отрезке будет на границе \( x = -\frac{2\pi}{3} \) или \( x = 0 \). Поэтому мы можем сравнить значения функции на границах отрезка, чтобы найти наименьшее значение функции:
\[ y(-\frac{2\pi}{3}) = \frac{7}{2} + \frac{28\pi}{3} + 3 + 7\pi \]
\[ y(-\frac{2\pi}{3}) = \frac{13}{2} + \frac{49\pi}{3} \]

\[ y(0) = 7 + 3 + 7\pi \]
\[ y(0) = 10 + 7\pi \]

Теперь сравниваем полученные значения:
\[ \frac{13}{2} + \frac{49\pi}{3} \approx 19.20 + 51.85 \approx 71.05 \]
\[ 10 + 7\pi \approx 10 + 22.99 \approx 32.99 \]
Итак, получается, что наименьшее значение функции \( y = 7\cos(x) - 14x + 3 + 7\pi \) на отрезке \( \left[-\frac{2\pi}{3}, 0\right] \) равно \( 32.99 \).