Какое наименьшее значение можно получить для выражения a2+b2+c2−ab−bc−c?

Конечно! Давайте решим данную задачу шаг за шагом, чтобы ответ был понятен школьнику.

Мы должны найти наименьшее значение выражения \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-c\). Для этого нам понадобится некоторое математическое рассуждение и некоторые математические навыки.

1. Воспользуемся тем, что квадрат суммы двух чисел всегда больше или равен сумме квадратов этих чисел. То есть, \((x+y)^2 \geq x^2 + y^2\).

2. Применим это свойство к нашему выражению. Рассмотрим первые три слагаемых \(a^2+b^2+c^2\). Мы можем записать их в виде \((a^2+b^2)+c^2\).

3. Теперь применим свойство, указанное в первом пункте, к сумме \(a^2+b^2\). Мы можем записать ее как \((a^2+b^2)\geq 2ab\).

4. Возвращаемся к нашему выражению и заменяем \(a^2+b^2\) на \(2ab\). Теперь у нас получается \((2ab+c^2)+c^2-ab-bc-c\).

5. Упростим это выражение. Теперь у нас есть \(2ab+2c^2-ab-bc-c\).

6. Сгруппируем слагаемые, содержащие переменные \(a\) и \(c\), чтобы получить \((2ab-ab)+(2c^2-bc-c)\).

7. Продолжим упрощать. Получаем \(ab+2c^2-bc-c\).

8. Теперь заметим, что \(ab-bc = b(a-c)\). Тогда наше выражение принимает вид \(b(a-c)+2c^2-c\).

9. Факторизуем \(c\) в последнем слагаемом: \(c(2c-1)\). Получаем \(b(a-c)+c(2c-1)\).

Таким образом, мы получили выражение \(b(a-c)+c(2c-1)\), которое имеет наименьшее значение при \(a = c\) и \(c = \frac{1}{2}\). Если подставить эти значения в исходное выражение, мы получим наименьшее значение, которое равно \(0\).

Таким образом, ответ на задачу составляет \(0\).