Какое наименьшее простое число p существует, для которого выражение p^3+4p^2+4p имеет 30 положительных делителей?

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо найти простое число \( p \), для которого выражение \( p^3 + 4p^2 + 4p \) имеет 30 положительных делителей.

В начале мы можем факторизовать данное выражение и записать его как произведение простых множителей. Для этого давайте представим выражение в следующем виде:

\[ p^3 + 4p^2 + 4p = p(p^2 + 4p + 4) = p(p+2)^2 \]

Теперь, когда у нас есть факторизованное выражение, мы можем определить количество положительных делителей нашего исходного выражения. Если мы разложим произведение \( p(p+2)^2 \) на простые множители, мы получим следующее:

\[ p(p+2)^2 = p \cdot (p+2) \cdot (p+2) \]

Количество положительных делителей выражения можно найти, увеличивая степени каждого простого множителя на 1 и умножая эти степени:

\((1+1) \cdot (1+1) \cdot (1+1) = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\)

Мы видим, что выражение \( p(p+2)^2 \) имеет 8 положительных делителей. Однако, нам нужно найти простое число \( p \), для которого количество положительных делителей равно 30.

Чтобы получить 30 положительных делителей, необходимо, чтобы у выражения \( p(p+2)^2 \) было 15 простых множителей (первое простое число в степени 14, второе простое число в степени 0 и третье простое число в степени 0, или первое простое число в степени 4, второе простое число в степени 1 и третье простое число в степени 0, и так далее).

Так как \( p \) - простое число, то оно должно быть одним из простых множителей нашего выражения. Поэтому позволите мне перечислить некоторые возможные варианты простых чисел \( p \), которые мы можем попробовать:

1) \( p = 2 \) (тогда \( p+2 = 4 \))

2) \( p = 3 \) (тогда \( p+2 = 5 \))

3) \( p = 5 \) (тогда \( p+2 = 7 \))

4) \( p = 7 \) (тогда \( p+2 = 9 \))

5) \( p = 11 \) (тогда \( p+2 = 13 \))

6) \( p = 13 \) (тогда \( p+2 = 15 \))

7) \( p = 17 \) (тогда \( p+2 = 19 \))

Дальнейшее перечисление простых чисел вряд ли приведёт к нашему условию на количество положительных делителей равных 30.

Теперь нам остаётся только проверить каждое из перечисленных простых чисел в нашем выражении \( p(p+2)^2 \), чтобы определить, какое из них удовлетворяет нашему условию на количество положительных делителей.

1) Проверим \( p = 2 \):
- \( 2(2+2)^2 = 2 \cdot 4^2 = 2 \cdot 16 = 32 \)
- количество положительных делителей числа 32 равно 6, не равно 30.

2) Проверим \( p = 3 \):
- \( 3(3+2)^2 = 3 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75 \)
- количество положительных делителей числа 75 равно 6, не равно 30.

3) Проверим \( p = 5 \):
- \( 5(5+2)^2 = 5 \cdot 7^2 = 5 \cdot 49 = 245 \)
- количество положительных делителей числа 245 равно 8, не равно 30.

4) Проверим \( p = 7 \):
- \( 7(7+2)^2 = 7 \cdot 9^2 = 7 \cdot 81 = 567 \)
- количество положительных делителей числа 567 равно 8, не равно 30.

5) Проверим \( p = 11 \):
- \( 11(11+2)^2 = 11 \cdot 13^2 = 11 \cdot 169 = 1859 \)
- количество положительных делителей числа 1859 равно 2, не равно 30.

6) Проверим \( p = 13 \):
- \( 13(13+2)^2 = 13 \cdot 15^2 = 13 \cdot 225 = 2925 \)
- количество положительных делителей числа 2925 равно 24, не равно 30.

7) Проверим \( p = 17 \):
- \( 17(17+2)^2 = 17 \cdot 19^2 = 17 \cdot 361 = 6137 \)
- количество положительных делителей числа 6137 равно 2, не равно 30.

После проверки всех простых чисел из нашего списка, мы видим, что ни одно из них не удовлетворяет условию на количество положительных делителей, равное 30.

Таким образом, нет простого числа \( p \), для которого выражение \( p^3 + 4p^2 + 4p \) имеет 30 положительных делителей.