Какое наименьшее положительное значение удовлетворяет неравенству sin(x/2)cos(x/2)≥1/4?

Для решения данной задачи нам потребуется использовать знания о тригонометрических функциях и их свойствах. Давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Преобразование исходного неравенства
Имеем неравенство sin(x/2)cos(x/2) ≥ 1/4. Мы можем использовать тригонометрическую формулу двойного угла для произведения синуса и косинуса: sin(2θ) = 2sinθcosθ. Применим эту формулу к нашему неравенству. Получим:

2sin(x/2)cos(x/2) ≥ 1/4.

Шаг 2: Приведение неравенства к более простому виду
Давайте разделим обе части неравенства на 2:

sin(x/2)cos(x/2) ≥ 1/8.

Теперь у нас есть новое неравенство, в котором справа стоит положительная константа (1/8).

Шаг 3: Поиск угла, при котором неравенство выполняется
Для решения этого неравенства нам понадобится использовать свойства тригонометрических функций и таблицу значений синуса и косинуса.

Из таблицы мы видим, что наименьшее положительное значение, при котором sin(x/2) = 1/2, это x/2 = π/6 или x = π/3.

Теперь, зная значение x, мы можем проверить, выполняется ли наше исходное неравенство sin(x/2)cos(x/2) ≥ 1/4 при этом значении:

sin(π/3/2)cos(π/3/2) = (1/2)(√3/2) = √3/4.

Мы видим, что √3/4 ≥ 1/4, и это означает, что исходное неравенство sin(x/2)cos(x/2) ≥ 1/4 выполняется при x = π/3.

Ответ: Наименьшее положительное значение x, удовлетворяющее неравенству sin(x/2)cos(x/2) ≥ 1/4, равно π/3.