Какое наименьшее основание позиционной системы счисления может быть, чтобы в ней могли быть представлены все эти числа

Чтобы определить наименьшее основание позиционной системы счисления, в которой могут быть представлены все числа, переведем каждое из них в десятичную систему счисления и проанализируем их максимальные разряды.

Первое число, 3102, имеет 4 разряда. Чтобы найти максимальную цифру в числе, нужно просмотреть каждую позицию. Максимальная цифра в этом числе - 3.

Второе число, 123, имеет 3 разряда. Максимальная цифра здесь - 3.

Третье число, 2222, также имеет 4 разряда. Максимальная цифра - 2.

Теперь найдем максимальную цифру среди всех трех чисел: 3.

Таким образом, наименьшее основание позиционной системы счисления, в которой могут быть представлены все эти числа (3102, 123 и 2222), будет на одну единицу больше максимальной цифры, то есть 4.

Так как требуется подробное объяснение, давайте приведем пошаговое решение для перевода чисел в позиционную систему счисления с основанием 4.

Для перевода числа 3102 в позиционную систему счисления с основанием 4, мы разбиваем число на разряды и в каждом разряде записываем произведение цифры на \(4^n\), где n - номер разряда слева направо, начиная с 0.

\[3102 = 3 \times 4^3 + 1 \times 4^2 + 0 \times 4^1 + 2 \times 4^0\]
\[= 3 \times 64 + 1 \times 16 + 0 \times 4 + 2 \times 1\]
\[= 192 + 16 + 0 + 2\]
\[= 210\]

Теперь переведем число 123 в позиционную систему счисления с основанием 4:

\[123 = 1 \times 4^2 + 2 \times 4^1 + 3 \times 4^0\]
\[= 1 \times 16 + 2 \times 4 + 3 \times 1\]
\[= 16 + 8 + 3\]
\[= 27\]

Наконец, число 2222 в позиционной системе счисления с основанием 4 записывается следующим образом:

\[2222 = 2 \times 4^3 + 2 \times 4^2 + 2 \times 4^1 + 2 \times 4^0\]
\[= 2 \times 64 + 2 \times 16 + 2 \times 4 + 2 \times 1\]
\[= 128 + 32 + 8 + 2\]
\[= 170\]

Таким образом, мы видим, что все числа 3102, 123 и 2222 могут быть представлены в позиционной системе счисления с основанием 4.