Какое наименьшее количество цифр могло быть написано на доске, если известно, что среди них есть различные числа

Для начала, чтобы решить эту задачу, давайте разберемся, что такое "среднее арифметическое". Среднее арифметическое - это сумма всех чисел, деленная на их количество. Давайте обозначим искомое наименьшее количество цифр на доске как \(n\).

Так как у каждого числа должно быть 2020 средних арифметических, равных этому числу, мы можем выразить это равенство следующим образом:

\[
\frac{{x_1 + x_2 + \ldots + x_{2020}}}{{2020}} = x_1
\]

где \(x_1, x_2, \ldots, x_{2020}\) - различные числа, написанные на доске.

Поскольку каждое из чисел \(x_i\) является различным числом, это значит, что сумма чисел \(x_1 + x_2 + \ldots + x_{2020}\) будет иметь как минимум \(2020\) слагаемых.

Давайте обозначим сумму чисел на доске как \(S\). Тогда у нас будет уравнение:

\[
\frac{S}{2020} = x_1
\]

Теперь нам нужно найти наименьшее значение \(S\), чтобы это уравнение выполнилось. Мы знаем, что все числа на доске различны, поэтому для минимального значения \(S\) мы должны записать максимальное возможное значение \(x_1\). Поскольку мы работаем с цифрами, максимально возможное значение для \(x_1\) будет \(9\).

Таким образом, мы можем записать:

\[
\frac{S}{2020} = 9
\]

Умножим обе стороны на 2020:

\[
S = 9 \cdot 2020 = 18180
\]

Таким образом, наименьшее количество цифр, которое может быть написано на доске, равно 18180.