Какое наименьшее число рёбер может быть в графе с 20 вершинами, таким, что удаление любых двух рёбер приводит

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Начнем с определения понятий. Граф - это математическая структура, состоящая из вершин и ребер, которые соединяют эти вершины. Компонента связности - это максимальное подмножество вершин графа, в котором каждая вершина связана с каждой другой вершиной.

2. Для нахождения наименьшего числа ребер в графе с 20 вершинами, удовлетворяющих условию задачи, рассмотрим самый простой случай.

3. Если у нас есть полный граф с 20 вершинами, то каждая вершина будет соединена с каждой другой вершиной, и удаление двух ребер будет приводить к разделению графа на две компоненты связности. Полный граф с 20 вершинами будет иметь \(\frac{{20 \times 19}}{2} = 190\) ребер.

4. Однако, в условии задачи сказано, что удаление двух ребер должно приводить к не более чем двум компонентам связности. Это означает, что нам нужно найти граф, в котором удаление двух ребер может привести как к двум, так и к одной компоненте связности.

5. Предположим, что у нас есть граф с \(n\) вершинами и \(m\) ребрами, такой, что удаление любых двух ребер приводит к не более чем двум компонентам связности.

6. Мы можем записать это условие в виде неравенства: \(m - 2 \leq 2\). Разрешим его относительно \(m\): \(m \leq 4\).

7. Теперь рассмотрим возможные значения для числа ребер, удовлетворяющие неравенству \(m \leq 4\):

- Если \(m = 4\), то граф будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{matrix}
& & & & & \\
\cdot & --- & \cdot & --- & \cdot \\
& & & & & \\
\end{matrix}
\]

Такой граф имеет 20 вершин и 4 ребра, и удаление любых двух ребер приводит к двум компонентам связности.

- Если \(m = 3\), то граф будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{matrix}
& & & & & \\
\cdot & --- & \cdot & --- & \cdot \\
& & | & & \\
& & \cdot & & \\
& & | & & \\
\cdot & --- & \cdot & --- & \cdot \\
& & | & & \\
& & \cdot & & \\
& & | & & \\
\cdot & --- & \cdot & --- & \cdot \\
& & & & & \\
\end{matrix}
\]

Такой граф также имеет 20 вершин и 3 ребра, и удаление любых двух ребер приводит к двум компонентам связности.

- Если \(m = 2\), то граф будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{matrix}
& & & & & \\
\cdot & --- & \cdot & --- & \cdot \\
& & | & & \\
& & \cdot & & \\
& & | & & \\
\cdot & --- & \cdot & --- & \cdot \\
& & & & \\
\end{matrix}
\]

Такой граф также имеет 20 вершин и 2 ребра, и удаление любых двух ребер приводит к двум компонентам связности.

8. Теперь рассмотрим случай \(m = 1\):

\[
\begin{matrix}
& & & & & & & \\
\cdot & --- & \cdot & --- & \cdot & --- & \cdot \\
& & \vert & & \\
& & \cdot & & \\
& & \vert & & \\
\cdot & --- & \cdot & --- & \cdot \\
& & \vert & & \\
& & \cdot & & \\
& & \vert & & \\
\cdot & --- & \cdot & --- & \cdot \\
& & \vert & & \\
& & \cdot & & \\
& & \vert & & \\
\cdot & --- & \cdot & --- & \cdot \\
& & & & & & & \\
\end{matrix}
\]

Такой граф имеет 20 вершин и 1 ребро, и удаление любых двух ребер приводит к одной компоненте связности.

9. Итак, мы рассмотрели все случаи и нашли графы с наименьшим числом ребер для каждого из них:
- 4 ребра для 20 вершин
- 3 ребра для 20 вершин
- 2 ребра для 20 вершин
- 1 ребро для 20 вершин

Таким образом, наименьшее число ребер в графе с 20 вершинами, таким, что удаление двух ребер приводит к не более чем двум компонентам связности, равно 1.