Какое наименьшее число рёбер может быть в графе с 20 вершинами, таким, что удаление любых двух рёбер приводит

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Начнем с определения понятий. Граф - это математическая структура, состоящая из вершин и ребер, которые соединяют эти вершины. Компонента связности - это максимальное подмножество вершин графа, в котором каждая вершина связана с каждой другой вершиной.

2. Для нахождения наименьшего числа ребер в графе с 20 вершинами, удовлетворяющих условию задачи, рассмотрим самый простой случай.

3. Если у нас есть полный граф с 20 вершинами, то каждая вершина будет соединена с каждой другой вершиной, и удаление двух ребер будет приводить к разделению графа на две компоненты связности. Полный граф с 20 вершинами будет иметь $\frac{20\times 19}{2}=190$ ребер.

4. Однако, в условии задачи сказано, что удаление двух ребер должно приводить к не более чем двум компонентам связности. Это означает, что нам нужно найти граф, в котором удаление двух ребер может привести как к двум, так и к одной компоненте связности.

5. Предположим, что у нас есть граф с $n$ вершинами и $m$ ребрами, такой, что удаление любых двух ребер приводит к не более чем двум компонентам связности.

6. Мы можем записать это условие в виде неравенства: $m-2\le 2$. Разрешим его относительно $m$: $m\le 4$.

7. Теперь рассмотрим возможные значения для числа ребер, удовлетворяющие неравенству $m\le 4$:

- Если $m=4$, то граф будет выглядеть следующим образом:

$$\begin{array}{cccccc}& & & & & \\ \cdot & ---& \cdot & ---& \cdot \\ & & & & & \end{array}$$

Такой граф имеет 20 вершин и 4 ребра, и удаление любых двух ребер приводит к двум компонентам связности.

- Если $m=3$, то граф будет выглядеть следующим образом:

$$\begin{array}{cccccc}& & & & & \\ \cdot & ---& \cdot & ---& \cdot \\ & & |& & \\ & & \cdot & & \\ & & |& & \\ \cdot & ---& \cdot & ---& \cdot \\ & & |& & \\ & & \cdot & & \\ & & |& & \\ \cdot & ---& \cdot & ---& \cdot \\ & & & & & \end{array}$$

Такой граф также имеет 20 вершин и 3 ребра, и удаление любых двух ребер приводит к двум компонентам связности.

- Если $m=2$, то граф будет выглядеть следующим образом:

$$\begin{array}{cccccc}& & & & & \\ \cdot & ---& \cdot & ---& \cdot \\ & & |& & \\ & & \cdot & & \\ & & |& & \\ \cdot & ---& \cdot & ---& \cdot \\ & & & & \end{array}$$

Такой граф также имеет 20 вершин и 2 ребра, и удаление любых двух ребер приводит к двум компонентам связности.

8. Теперь рассмотрим случай $m=1$:

$$\begin{array}{cccccccc}& & & & & & & \\ \cdot & ---& \cdot & ---& \cdot & ---& \cdot \\ & & |& & \\ & & \cdot & & \\ & & |& & \\ \cdot & ---& \cdot & ---& \cdot \\ & & |& & \\ & & \cdot & & \\ & & |& & \\ \cdot & ---& \cdot & ---& \cdot \\ & & |& & \\ & & \cdot & & \\ & & |& & \\ \cdot & ---& \cdot & ---& \cdot \\ & & & & & & & \end{array}$$

Такой граф имеет 20 вершин и 1 ребро, и удаление любых двух ребер приводит к одной компоненте связности.

9. Итак, мы рассмотрели все случаи и нашли графы с наименьшим числом ребер для каждого из них:
- 4 ребра для 20 вершин
- 3 ребра для 20 вершин
- 2 ребра для 20 вершин
- 1 ребро для 20 вершин

Таким образом, наименьшее число ребер в графе с 20 вершинами, таким, что удаление двух ребер приводит к не более чем двум компонентам связности, равно 1.