Какое наименьшее целое положительное число n, необходимо выбрать, чтобы An было кратным? For which smallest positive

Чтобы понять, какое наименьшее целое положительное число \(n\) нужно выбрать, чтобы \(A_n\) было кратным, давайте разберемся в некоторых ключевых понятиях.

В данном случае, мы говорим о "кратности", что означает, что число \(A_n\) делится на \(n\) без остатка. Другими словами, если \(A_n\) кратно \(n\), то деление \(A_n\) на \(n\) не оставит никакого остатка.

Поэтому наша задача состоит в поиске наименьшего целого положительного числа \(n\), такого что \(A_n\) кратно (\(A_n\) делится на \(n\) без остатка).

Для того, чтобы найти ответ, давайте рассмотрим последовательность \(A_n\) и попробуем найти закономерности.

Итак, пусть \(A_n = n^2 + 3n\). Давайте проверим, какое наименьшее положительное целое число \(n\) делит \(A_n\) без остатка.

Для этого, мы будем подставлять числа \(n = 1, 2, 3, \ldots\) и проверять, делится ли \(A_n\) на \(n\) без остатка.

Начнем с \(n = 1\):
\[A_1 = 1^2 + 3 \cdot 1 = 1 + 3 = 4.\]
Число 4 не делится на 1 без остатка.

Попробуем для \(n = 2\):
\[A_2 = 2^2 + 3 \cdot 2 = 4 + 6 = 10.\]
Число 10 также не делится на 2 без остатка.

Продолжим проверять для \(n = 3\):
\[A_3 = 3^2 + 3 \cdot 3 = 9 + 9 = 18.\]
Число 18 также не делится на 3 без остатка.

Продолжим для \(n = 4\):
\[A_4 = 4^2 + 3 \cdot 4 = 16 + 12 = 28.\]
Число 28 не делится на 4 без остатка.

Продолжим для \(n = 5\):
\[A_5 = 5^2 + 3 \cdot 5 = 25 + 15 = 40.\]
Число 40 делится на 5 без остатка.

Как видно из наших расчетов, наименьшее целое положительное число \(n\), для которого \(A_n\) кратно, равно 5. То есть, для \(n = 5\) число \(A_n\) будет делиться на 5 без остатка.

Таким образом, ответ на задачу состоит в том, что наименьшее целое положительное число \(n\), которое нужно выбрать, чтобы \(A_n\) было кратным, равно 5.