Какое наименьшее целое положительное число n должно быть, чтобы сумма An=7+77+777+…+7…7 (где последнее слагаемое

Для решения этой задачи, давайте посмотрим на сумму \(A_n = 7 + 77 + 777 + \ldots + 7\dots7\), где последнее слагаемое содержит \(n\) семерок.

Обратите внимание, что каждое слагаемое в этой сумме можно представить как \(7 \times \underbrace{1\dots1}_{\text{n цифр}}\). Следовательно, можно записать \(A_n\) как:

\[A_n = 7 + 7 \times 11 + 7 \times 111 + \ldots + 7 \times \underbrace{1\dots1}_{\text{n цифр}}\]

Теперь мы можем заметить, что:

\[10^{k-1} = 1\underbrace{0\dots0}_{\text{k-1 нулей}}\]

Таким образом, мы можем переписать каждое слагаемое в форме:

\[7 \times \underbrace{1\dots1}_{\text{k цифр}} = 7 \times (10^{k-1} + 10^{k-2} + \ldots + 10 + 1)\]

Это выражение является суммой арифметической прогрессии. Мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии, чтобы упростить выражение:

\[7 \times (10^{k-1} + 10^{k-2} + \ldots + 10 + 1) = 7 \times \frac{10^k - 1}{10 - 1}\]

Обратите внимание, что \(\frac{10^k - 1}{10 - 1}\) является суммой k цифр 1, которая делится на 9. Таким образом, мы можем переписать \(A_n\) следующим образом:

\[A_n = 7 \times \left( \frac{10^k - 1}{10 - 1} \right) = 7 \times \frac{10^k - 1}{9}\]

Теперь мы хотим найти наименьшее целое положительное число \(n\), такое чтобы \(A_n\) делилась на 9. Мы знаем, что число делится на 9, если и только если сумма его цифр также делится на 9.

Рассмотрим значение \(A_n\). Суммируя цифры числа 7, мы получим 7, а значение \(10^k\) всегда имеет последнюю цифру 0, за исключением случая, когда \(k = 1\). Таким образом, сумма цифр числа \(A_n\) равна 7.

Нам нужно, чтобы сумма цифр числа \(A_n\) была кратной 9. В данном случае, это не выполняется, так как сумма цифр равна 7. Следовательно, наименьшее целое положительное число \(n\), при котором \(A_n\) делится на 9, равно 0.

Таким образом, ответ на задачу: наименьшее целое положительное число \(n\) должно быть равно 0.