Какое наибольшее значение принимает функция y=x/(81+x2) на интервале [0;+∞)? Где находятся стационарные точки функции?

Для начала, давайте найдем наибольшее значение функции на интервале [0; +∞). Чтобы сделать это, мы должны проанализировать поведение функции в данном интервале.

Шаг 1: Найдем производную функции y по переменной x.

\[y = \frac{x}{81+x^2}\]

Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного функций:

\[y" = \frac{(81+x^2)(1) - (x)(2x)}{(81+x^2)^2}\]

После упрощения получим:

\[y" = \frac{81+x^2-2x^2}{(81+x^2)^2}\]

\[y" = \frac{81-x^2}{(81+x^2)^2}\]

Шаг 2: Найдем стационарные точки функции, то есть значения x, при которых производная равна нулю или не существует. В данном случае, производная существует для всех значений x, поэтому нам нужно найти значения x, при которых производная равна нулю.

\[81-x^2 = 0\]

\[x^2 = 81\]

\[x = \pm 9\]

Таким образом, стационарные точки функции находятся при x = -9 и x = 9.

Шаг 3: Теперь найдем значение функции y при найденных стационарных точках и на концах интервала [0; +∞).

Подставим x = -9:

\[y = \frac{-9}{81+(-9)^2} = \frac{-9}{81+81} = \frac{-9}{162} = -\frac{1}{18}\]

Подставим x = 9:

\[y = \frac{9}{81+9^2} = \frac{9}{81+81} = \frac{9}{162} = \frac{1}{18}\]

Шаг 4: Исследуем поведение функции на интервале [0; +∞).

Поставим производную функции в соответствие с таблицей знаков, чтобы определить, когда функция возрастает и убывает:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y" \\
\hline
0 & \frac{81}{81^2} > 0 \\
\hline
1 & \frac{80}{82^2} > 0 \\
\hline
10 & \frac{-19}{181^2} < 0 \\
\hline
\end{array}
\]

Из этой таблицы знаков видно, что функция убывает на интервале [0; 9) и возрастает на интервале (9; +∞).

Шаг 5: Ответим на вопрос задачи.

Наибольшее значение функции на интервале [0; +∞) равно \(\frac{1}{18}\) и достигается при x = 9. Стационарные точки функции находятся при x = -9 и x = 9.