Какое наибольшее значение принимает функция y=2x^3-54x+1 на указанном отрезке?

Для нахождения наибольшего значения функции на указанном отрезке, нам необходимо найти точку экстремума этой функции на заданном интервале. Точками экстремума являются точки, где производная равна нулю или не существует.

Начнем с нашей функции: \(y = 2x^3 - 54x + 1\). Чтобы найти экстремумы, нам нужно найти производную этой функции. Производная функции \(y\) будет равна сумме производных каждого слагаемого:

\[y" = \frac{d}{dx}(2x^3) - \frac{d}{dx}(54x) + \frac{d}{dx}(1)\]

Вычислим эти производные по очереди:

\[y" = 6x^2 - 54 + 0\]

Упростим это выражение:

\[y" = 6x^2 - 54\]

Далее, для найти точку экстремума, мы приравниваем производную к нулю и решаем полученное уравнение:

\[6x^2 - 54 = 0\]

Добавим 54 к обеим сторонам уравнения:

\[6x^2 = 54\]

Затем разделим на 6:

\[x^2 = 9\]

Возведем обе стороны уравнения в квадрат:

\[x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3\]

Таким образом, у нас есть две точки экстремума: \(x = 3\) и \(x = -3\). Чтобы определить, какая из них дает наибольшее значение функции, мы подставим обе эти точки в исходную функцию:

Для \(x = 3\):
\[y = 2(3)^3 - 54(3) + 1 = 2 \cdot 27 - 162 + 1 = 54 - 162 + 1 = -107\]

Для \(x = -3\):
\[y = 2(-3)^3 - 54(-3) + 1 = 2 \cdot (-27) + 162 + 1 = -54 + 162 + 1 = 109\]

Таким образом, наибольшее значение функции \(y = 2x^3 - 54x + 1\) на заданном отрезке равно 109, и оно достигается при \(x = -3\).