Какое наибольшее значение n будет при условии, что (1∙2∙3∙…∙2021)/〖2021〗^n будет натуральным числом?

Для решения этой задачи, нам нужно разложить числитель \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2021\) на простые множители и посмотреть, какие простые числа входят в это разложение.

Сначала, разложим числитель \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2021\):

\[1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2021 = 2^{n_2} \cdot 3^{n_3} \cdot 5^{n_5} \cdot \ldots \cdot p^{n_p}\]

где \(n_2, n_3, n_5, \ldots, n_p\) - некоторые натуральные числа, а \(p\) - наибольший простой делитель из всех чисел от 1 до 2021.

Теперь, разложим знаменатель \(2021^n\):

\[2021^n = 43^n \cdot 47^n\]

Мы хотим, чтобы и числитель, и знаменатель были натуральными числами. Для этого, все простые множители в разложении числителя должны входить в разложение знаменателя.

Так как простые числа 43 и 47 входят в разложение числителя, они также должны входить в разложение знаменателя, то есть \(p \geq 47\).

Таким образом, наибольшее значение \(n\), при котором \(\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2021}{2021^n}\) будет натуральным числом, достигается, когда \(p = 47\).

Теперь мы можем вычислить это значение:

\[\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2021}{2021^n} = \frac{2^{n_2} \cdot 3^{n_3} \cdot 5^{n_5} \cdot \ldots \cdot 47^{n_{47}}}{43^n \cdot 47^n} = 2^{n_2} \cdot 3^{n_3} \cdot 5^{n_5} \cdot \ldots \cdot 47^{n_{47} - n}\]

Таким образом, значение \(n\), при котором \(\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2021}{2021^n}\) будет натуральным числом, равно \(n = n_{47}\). В данном случае, \(n\) равно количеству простых множителей 47 в разложении числителя.

Подсчитаем количество простых множителей 47 в разложении числителя:

\(2021 = 43 \cdot 47\)

Таким образом, в разложении числителя есть только одно простое число 47. Значит, \(n = 1\).

Таким образом, наибольшее значение \(n\), при котором \(\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2021}{2021^n}\) будет натуральным числом, равно \(n = 1\).