Какое наибольшее значение может иметь основание системы счисления, если запись числа 281 в этой системе содержит

Для решения этой задачи, нам нужно понять, как осуществляется запись числа 281 в данной системе счисления.

Пусть основание этой системы счисления равно \(x\). Тогда число 281 будет представлено в виде:

\[2x^2 + 8x^1 + 1x^0\]

Так как дано, что запись числа 281 в этой системе содержит 3 цифры, то у нас есть следующее неравенство:

\[x^2 \leq 2x^2 + 8x^1 + 1x^0 < x^3\]

Давайте рассмотрим это неравенство по частям:

\[x^2 \leq 2x^2 + 8x^1 + 1x^0\]

Отсюда мы видим, что основание \(x\) должно быть как минимум 2, так как в противном случае левая сторона неравенства будет меньше 2, что противоречит условию задачи.

Теперь рассмотрим второе неравенство:

\[2x^2 + 8x^1 + 1x^0 < x^3\]

Раскроем степень на правой стороне неравенства:

\[2x^2 + 8x^1 + 1x^0 < x \cdot x \cdot x\]
\[2x^2 + 8x^1 + 1x^0 < x^3\]

Теперь рассмотрим различные случаи значений основания \(x\) и найдем наибольшее значение.

1. Пусть \(x = 2\):

\[2 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 16 + 1 = 25 < 8\]

2. Пусть \(x = 3\):

\[2 \cdot 3^2 + 8 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^0 = 18 + 24 + 1 = 43 < 27\]

3. Пусть \(x = 4\):

\[2 \cdot 4^2 + 8 \cdot 4^1 + 1 \cdot 4^0 = 32 + 32 + 1 = 65 < 64\]

4. Пусть \(x = 5\):

\[2 \cdot 5^2 + 8 \cdot 5^1 + 1 \cdot 5^0 = 50 + 40 + 1 = 91 < 125\]

5. Пусть \(x = 6\):

\[2 \cdot 6^2 + 8 \cdot 6^1 + 1 \cdot 6^0 = 72 + 48 + 1 = 121 < 216\]

Мы видим, что наибольшее значение основания системы счисления, при котором запись числа 281 содержит 3 цифры, равно 6.