Какое наибольшее значение имеет функция y=(x+2)2(x+8)-7 на интервале [-12;-4]?

Чтобы найти наибольшее значение функции \(y=(x+2)^2(x+8)-7\) на интервале \([-12;-4]\), мы должны выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдите критические точки, где \(y"(x) = 0\) или \(y"(x)\) не существует.
Шаг 2: Определите, находятся ли критические точки внутри интервала \([-12;-4]\).
Шаг 3: Вычислите значения функции в критических точках и на концах интервала \([-12;-4]\).
Шаг 4: Определите наибольшее значение функции из полученных значений.

Давайте выполним каждый шаг подробно:

Шаг 1: Найдите критические точки \(y"(x) = 0\) или \(y"(x)\) не существует.

Для этой задачи воспользуемся производными. Сначала возьмем производную функции \(y=(x+2)^2(x+8)-7\), используя правило производной произведения функций и цепного правила:

\[y"(x) = 2(x+2)(x+8) + (x+2)^2\]

Шаг 2: Определите, находятся ли критические точки внутри интервала \([-12;-4]\).

Чтобы найти критические точки, приравняем \(y"(x)\) к нулю и решим уравнение:

\[2(x+2)(x+8) + (x+2)^2 = 0\]

После раскрытия скобок и сокращения получим:

\[3x^2 + 32x + 60 = 0\]

Решив это квадратное уравнение, мы найдем две критические точки: \(x_1 = -10\) и \(x_2 = -2\).

Шаг 3: Вычислите значения функции в критических точках и на концах интервала \([-12;-4]\).

Вычислим значения функции в критических точках и на концах интервала:

\[
\begin{align*}
y(-12) &= (-12+2)^2(-12+8)-7 \\
&= (-10)^2(-4)-7 \\
&= 350 \\
y(-4) &= (-4+2)^2(-4+8)-7 \\
&= (-2)^2(4)-7 \\
&= 1 \\
y(-10) &= (-10+2)^2(-10+8)-7 \\
&= (-8)^2(-2)-7 \\
&= 122 \\
y(-2) &= (-2+2)^2(-2+8)-7 \\
&= 0 \\
\end{align*}
\]

Шаг 4: Определите наибольшее значение функции из полученных значений.

Теперь, из полученных значений, самое большое значение функции на интервале \([-12;-4]\) равно 350.

Таким образом, наибольшее значение функции \(y=(x+2)^2(x+8)-7\) на интервале \([-12;-4]\) равно 350.