Какое наибольшее значение достигает функция y=x^2+729/x на интервале

Question

Математика: Какое наибольшее значение достигает функция y=x^2+729/x на интервале от -38

Светик_4235 · Accepted Answer

Предлагаю решить задачу шаг за шагом:

1) Воспользуемся методом дифференцирования, чтобы найти экстремумы функции \(y(x)\). Для этого найдем производную и приравняем ее к нулю:

\[y"(x) = 2x - \frac{{729}}{{x^2}}\]
\[2x - \frac{{729}}{{x^2}} = 0\]

2) Решим полученное уравнение относительно \(x\):

\[2x = \frac{{729}}{{x^2}}\]
\[2x^3 = 729\]
\[x^3 = \frac{{729}}{{2}}\]
\[x = \sqrt[3]{\frac{{729}}{{2}}}\]

3) Результатом является положительный корень третьего порядка из \(\frac{{729}}{{2}}\). Подставим его значение в функцию \(y(x)\):

\[y\left(\sqrt[3]{\frac{{729}}{{2}}}\right) = \left(\sqrt[3]{\frac{{729}}{{2}}}\right)^2 + \frac{{729}}{{\left(\sqrt[3]{\frac{{729}}{{2}}}\right)}}\]

4) Произведем вычисления:

\[y\left(\sqrt[3]{\frac{{729}}{{2}}}\right) = \frac{{729}}{{2}} + \frac{{729}}{{\sqrt[3]{\frac{{729}}{{2}}}}}\]

5) Получается, что наибольшее значение функции \(y(x)\) на интервале от \(-38\) до \(\sqrt[3]{\frac{{729}}{{2}}}\) равно:

\[y_{\text{макс}} = \frac{{729}}{{2}} + \frac{{729}}{{\sqrt[3]{\frac{{729}}{{2}}}}}\]

Заметим, что точное значение \(\sqrt[3]{\frac{{729}}{{2}}}\) равно приблизительно \(9,07\), поэтому:

\[y_{\text{макс}} \approx \frac{{729}}{{2}} + \frac{{729}}{{9,07}}\]

Какое наибольшее значение достигает функция y=x^2+729/x на интервале от -38

Светик_4235

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!