Какое наибольшее значение достигает функция y=2x+50/x+15 на отрезке [-10; -0,5]? Приведите решение

Чтобы найти наибольшее значение функции \(y = \frac{{2x + 50}}{{x + 15}}\) на отрезке \([-10; -0.5]\), нам нужно найти максимальное значение этой функции в пределах данного интервала.

Для начала найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\) и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки функции:

\[
y = \frac{{2x + 50}}{{x + 15}}
\]

Применим правило дифференцирования частного функций. Для этого нам понадобится умение дифференцировать функции и правило дифференцирования для частных:

\[
(y)" = \frac{{(2x + 50)"(x + 15) - (2x + 50)(x + 15)"}}{{(x + 15)^2}}
\]

Упростим выражение:

\[
(y)" = \frac{{2(x + 15) - (2x + 50)}}{{(x + 15)^2}}
\]

\[
(y)" = \frac{{2x + 30 - 2x - 50}}{{(x + 15)^2}}
\]

\[
(y)" = \frac{{-20}}{{(x + 15)^2}}
\]

Теперь приравняем производную к нулю и найдем значения \(x\):

\[
\frac{{-20}}{{(x + 15)^2}} = 0
\]

Для ненулевого числа в знаменателе, только числитель может быть равен нулю:

\[
-20 = 0
\]

Это уравнение не имеет решений, следовательно, у данной функции нет критических точек на отрезке \([-10; -0.5]\).

Однако, функция \(y = \frac{{2x + 50}}{{x + 15}}\) может иметь максимум на границах данного отрезка. Проверим значения функции в крайних точках:

\[
y(-10) = \frac{{2(-10) + 50}}{{-10 + 15}} = \frac{{-10}}{{5}} = -2
\]

\[
y(-0.5) = \frac{{2(-0.5) + 50}}{{-0.5 + 15}} = \frac{{49}}{{14.5}} \approx 3.379
\]

Исходя из полученных значений, наибольшее значение функции достигается в точке \(x = -0.5\) и составляет около 3.379.