Какое минимальное значение а позволяет уравнению -х3–3х2 + 8 - а = 0 иметь ровно два корня?

Чтобы уравнение имело ровно два корня, мы должны найти значение параметра а, при котором уравнение будет иметь два корня с одинаковой кратностью. Для этого нам необходимо использовать теорему о степенях многочленов.

Уравнение имеет степень 3, следовательно, общая сумма степеней его корней будет равна 3. Если у нас есть два корня с одинаковой кратностью, то это означает, что третий корень должен иметь кратность 1.

Поскольку у нас есть два корня, имеющих одинаковую кратность, пусть эти корни будут равны r и r. Третий корень будет отличаться от этих двух, и для нахождения его значения мы можем использовать теорему Виета.

Сумма корней многочлена равна 0, следовательно, r + r + третий корень = 0. Из этого следует, что третий корень равен -(2r).

Теперь, когда у нас есть значения трех корней, мы можем сформулировать уравнение в виде произведения линейных множителей:

(x - r)(x - r)(x + 2r) = 0.

Получим:

(x - r)²(x + 2r) = 0.

Раскроем скобки:

(x - r)(x - r)(x + 2r) = 0.

(x² - 2rx + r²)(x + 2r) = 0.

x³ - 2rx² + r²x + 2r²x - 4r³ = 0.

x³ + (r² + 2r²)x - 2rx² - 4r³ = 0.

x³ + 3r²x - 2rx² - 4r³ = 0.

Сравнивая это с исходным уравнением -х³ - 3х² + 8 - а = 0, можем заметить, что коэффициенты при х² и х должны быть равны нулю:

-2r = -3,

3r² = 0.

Из второго уравнения получаем, что r = 0. Исходя из первого уравнения, находим значение r:

-2r = -3,

2r = 3,

r = 3/2.

Мы нашли одно значение r, а также ранее сказали, что третий корень отличается от этих двух, и его значение равно -(2r). Подставляя r, находим третий корень:

-(2 * 3/2) = -3.

Таким образом, для уравнения -х³ - 3х² + 8 - а = 0, минимальное значение параметра а, при котором уравнение будет иметь ровно два корня, составляет -3.

Пожалуйста, обратите внимание, что данный ответ был предоставлен с полным объяснением и шагами, чтобы облегчить понимание школьникам. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их.