Какое минимальное расстояние они могут достичь, двигаясь навстречу друг другу в вакууме из бесконечности вдоль одной

Данная задача связана с движением двух частиц, имеющих массу и заряд электрона. Мы ищем минимальное расстояние между этими частицами, когда они движутся друг навстречу другу со скоростями v и 3v соответственно. Чтобы решить эту задачу, воспользуемся законом сохранения импульса и законом сохранения энергии.

1. Закон сохранения импульса:
По этому закону сумма импульсов системы в начальный момент времени должна равняться сумме импульсов в конечный момент времени.

Пусть m1 и m2 - массы частиц, v1 и v2 - их скорости до встречи, а V1 и V2 - их скорости после встречи.
Импульс частицы определяется как произведение массы на скорость: p = m * v.

Тогда в начальный момент времени сумма импульсов равна: m1 * v1 + m2 * v2.
В конечный момент времени сумма импульсов равна: m1 * V1 + m2 * V2.

Поскольку частицы движутся по одной линии в противоположных направлениях, масса одной из частиц (например, m1) будет отрицательной.
Таким образом, мы можем записать уравнение сохранения импульса как: -m * v + m2 * v2 = -m * V1 + m2 * V2.

2. Закон сохранения энергии:
По этому закону сумма кинетической энергии системы (энергия движения) в начальный момент времени должна равняться сумме кинетической энергии в конечный момент времени.

Кинетическая энергия частицы определяется как половина произведения массы на квадрат скорости: KE = (1/2) * m * v^2.

Тогда в начальный момент времени сумма кинетической энергии равна: (1/2) * m1 * v1^2 + (1/2) * m2 * v2^2.
В конечный момент времени сумма кинетической энергии равна: (1/2) * m1 * V1^2 + (1/2) * m2 * V2^2.

Мы также можем записать уравнение сохранения энергии: (1/2) * m * v^2 + (1/2) * m2 * v2^2 = (1/2) * m * V1^2 + (1/2) * m2 * V2^2.

3. Решение уравнений:
Теперь у нас есть два уравнения, и мы можем решить их для нахождения значений V1 и V2.

Сначала решим уравнение сохранения импульса относительно V2:
-m * v + m2 * v2 = -m * V1 + m2 * V2.
Перегруппируем слагаемые:
m2 * V2 - m2 * v2 = -m * V1 + m * v.
Поделим обе части на m2:
V2 - v2 = - (m * V1 - m * v) / m2.
Упростим выражение:
V2 - v2 = - V1 + v.

Теперь решим уравнение сохранения энергии относительно V1:
(1/2) * m * v^2 + (1/2) * m2 * v2^2 = (1/2) * m * V1^2 + (1/2) * m2 * V2^2.
Подставим в него V2 - v2 = - V1 + v:
(1/2) * m * v^2 + (1/2) * m2 * v2^2 = (1/2) * m * V1^2 + (1/2) * m2 * (V2 - v)^2.
Раскроем квадрат:
(1/2) * m * v^2 + (1/2) * m2 * v2^2 = (1/2) * m * V1^2 + (1/2) * m2 * (V2^2 - 2 * V2 * v + v^2).
Упростим выражение:
(1/2) * m * v^2 + (1/2) * m2 * v2^2 = (1/2) * m * V1^2 + (1/2) * m2 * V2^2 - m2 * V2 * v + (1/2) * m2 * v^2.

Теперь выразим V1 через V2 (из первого уравнения) и подставим во второе уравнение:
(1/2) * m * v^2 + (1/2) * m2 * v2^2 = (1/2) * m * V1^2 + (1/2) * m2 * V2^2 - m2 * V2 * v + (1/2) * m2 * v^2.
Заменим V1 на - V2 + v:
(1/2) * m * v^2 + (1/2) * m2 * v2^2 = (1/2) * m * (- V2 + v)^2 + (1/2) * m2 * V2^2 - m2 * V2 * v + (1/2) * m2 * v^2.
Упростим выражение:
(1/2) * m * v^2 + (1/2) * m2 * v2^2 = (1/2) * m * (V2^2 - 2 * V2 * v + v^2) + (1/2) * m2 * V2^2 - m2 * V2 * v + (1/2) * m2 * v^2.
Раскроем скобки:
(1/2) * m * v^2 + (1/2) * m2 * v2^2 = (1/2) * m * V2^2 - m * V2 * v + (1/2) * m * v^2 - m2 * V2 * v + (1/2) * m2 * v^2 + (1/2) * m2 * V2^2 - m2 * V2 * v + (1/2) * m2 * v^2.
Упростим выражение:
(1/2) * m * v^2 + (1/2) * m2 * v2^2 = m * V2^2 - m * V2 * v + (1/2) * m * v^2 - m2 * V2 * v + (1/2) * m2 * v^2 + (1/2) * m2 * V2^2 - m2 * V2 * v + (1/2) * m2 * v^2.
Просуммируем подобные слагаемые:
(1/2) * m * v^2 + (1/2) * m2 * v2^2 = m * V2^2 + (1/2) * m2 * v^2.

Теперь у нас есть уравнение, которое содержит только одну неизвестную - V2. Решим его:
(1/2) * m * v^2 + (1/2) * m2 * v2^2 = m * V2^2 + (1/2) * m2 * v^2.
Перенесём все слагаемые с V2 на одну сторону, а остальные слагаемые на другую:
(1/2) * m * v^2 + (1/2) * m2 * v2^2 - (1/2) * m2 * v^2 = m * V2^2.
Упростим выражение:
(1/2) * m * v^2 + (1/2) * m2 * v2^2 - (1/2) * m2 * v^2 = m * V2^2.
Поскольку v^2 - v2^2 = (v + v2) * (v - v2), то результат можно записать как:
(1/2) * m * (v + v2) * (v - v2) = m * V2^2.
Поделим обе части на m:
(1/2) * (v + v2) * (v - v2) = V2^2.
Отсюда получаем:
(v + v2) * (v - v2) = 2 * V2^2.
Раскроем скобки:
v^2 - v2^2 = 2 * V2^2 - 2 * v2 * v.
Воспользуемся выражением V2 - v2 = - V1 + v из первого уравнения:
v^2 - v2^2 = 2 * V2 * (V2 - v2).
Подставим в него V2 - v2 = - V1 + v:
v^2 - v2^2 = 2 * V2 * (- V1 + v).
Раскроем скобки:
v^2 - v2^2 = - 2 * V2 * V1 + 2 * V2 * v.
Перенесём все слагаемые с V2 на одну сторону, а остальные слагаемые на другую:
v^2 - v2^2 + 2 * V2 * V1 - 2 * V2 * v = 0.
Упростим выражение:
v^2 - v2^2 + 2 * V2 * (V1 - v) = 0.

Получили уравнение, которое содержит только неизвестные скорости v и v2, а также известные скорости V1 и V2. Решим его для нахождения значений v и v2.

4. Минимальное расстояние:
Минимальное расстояние между частицами достигается в момент, когда они находятся вблизи друг друга и неподвижны относительно друг друга. Если мы найдем время, через которое частицы достигают этого состояния, мы сможем найти минимальное расстояние, используя скорость и время.

Как только частицы остановятся, их начнет притягивать электромагнитная сила. По закону Кулона F = k * (e1 * e2) / r^2, где F - сила, k - кулоновская постоянная, e1 и e2 - заряды частицы, r - расстояние.

В нашем случае легко видеть, что сила на каждую частицу будет равна:
F1 = k * (e * (m / 2)) / r^2,
F2 = k * ((-e) * (m / 2)) / r^2.

Поскольку F = m * a (второй закон Ньютона), где m - масса и a - ускорение, мы можем записать:
F1 = m * a1,
F2 = m * a2.

Подставим найденные выражения для силы и выражения для зарядов и массы частиц:
k * (e * (m / 2)) / r^2 = m * a1,
k * ((-e) * (m / 2)) / r^2 = m * a2.

Упростим выражения:
k * e * m / (2 * r^2) = m * a1,
-k * e * m / (2 * r^2) = m * a2.

Поскольку a1 = a2, из выражений можно заключить, что a = a1 = -a2:
k * e * m / (2 * r^2) = m * a.

Подставим известное выражение для силы притяжения и упростим уравнение:
k * e * m / (2 * r^2) = (k * (e * (m / 2)) / r^2) * a.
Упростим ещё раз:
1 = a.

Таким образом, мы получили, что ускорение частиц равно 1. Подставим это значение в уравнение сохранения импульса:
-m * v + m2 * v2 = -m * V1 + m2 * V2.
Используя V2 - v2 = - V1 + v, получим новое уравнение:
-m * v + m2 * v2 = -m * V1 - m2 * V1 + m * v + m2 * v.
Упростим его:
-m * v + m2 * v2 = - m * V1 - m2 * V1 + m * v + m2 * v.

Значения v и v2 оказываются равными скоростям V1 и V2 соответственно, так как ускорение равно 1, т.е. частицы неподвижны относительно друг друга. Следовательно, частицы достигают минимального расстояния, когда они остановлены.

Итак, минимальное расстояние будет достигаться в момент времени, когда частицы остановятся. ->
Давайте найдем время, через которое это произойдет.

5. Найдем время:
Для этого решим уравнение для каждой частицы, используя второй закон Ньютона F = m * a.

Для первой частицы, с массой m и начальной скоростью v: