Какое минимальное количество различных результатов можно получить, если Дима написал семь различных натуральных чисел

Чтобы решить данную задачу, мы должны проанализировать, какие числа могли быть написаны на доске Димой.

Пусть \(a\) — первое из семи чисел, которые были написаны Димой. Так как нам дано, что все числа на доске были различными, то остальные числа можно обозначить как \(a + 1, a + 2, a + 3, a + 4, a + 5\) и \(a + 6\).

Затем Дима умножил некоторые из чисел на 2, а другие на 3. Давайте рассмотрим возможные варианты умножения.

1) Если Дима умножил только одно число на 2, то единственным числом, которое может быть умножено на 2, является \(a\). В этом случае, остальные числа будут умножены на 3 и будут иметь значения \(3a + 3, 3a + 6, 3a + 9, 3a + 12, 3a + 15\) и \(3a + 18\). Всего мы получаем 7 различных результатов.

2) Если Дима умножил два числа на 2, то мы можем выбрать два числа из семи. Количество способов выбрать 2 числа из 7 равно \({7 \choose 2} = 21\). Однако, важно отметить, что порядок выбранных чисел не имеет значения, поэтому мы должны разделить это число пополам, чтобы избежать учета повторов. Таким образом, мы получаем только 10 различных результатов.

3) Если Дима умножил три числа на 2, то мы можем выбрать три числа из семи. Количество способов выбрать 3 числа из 7 равно \({7 \choose 3} = 35\). Опять же, порядок выбранных чисел не имеет значения, поэтому мы должны разделить это число на 3, чтобы избежать учета повторов. Таким образом, мы получаем только 35/3 = 11.67 ≈ 12 различных результатов.

4) Если Дима умножил четыре числа на 2, то мы можем выбрать четыре числа из семи. Количество способов выбрать 4 числа из 7 равно \({7 \choose 4} = 35\). Подобно предыдущим случаям, нужно разделить это число на 4, чтобы избежать учета повторов. Таким образом, мы получаем только 35/4 = 8.75 ≈ 9 различных результатов.

5) Если Дима умножил пять чисел на 2, то мы можем выбрать пять чисел из семи. Количество способов выбрать 5 чисел из 7 равно \({7 \choose 5} = 21\). Разделив это число на 5, мы получаем только 21/5 = 4.2, что округляется до 4 различных результатов.

6) Наконец, если Дима умножил все шесть чисел на 2, то получится только один результат.

Таким образом, суммируя все возможные варианты, мы получаем 7 + 10 + 12 + 9 + 4 + 1 = 43 различных результатов.

Исходя из этого решения, ответ на задачу — вариант б) 43.