Какое максимальное число от 1 до 2021 можно выбрать так, чтобы сумма двух выбранных чисел не была кратной их разности?

Чтобы решить данную задачу, давайте рассмотрим все возможные варианты чисел от 1 до 2021 и проверим, какое из них удовлетворяет условию.

Допустим, выбираем два числа \(a\) и \(b\) из диапазона от 1 до 2021. У нас есть условие, что сумма выбранных чисел не должна быть кратной их разности, то есть \(a + b\) не должно быть равно \(k \cdot (a - b)\), где \(k\) - любое целое число, отличное от нуля.

Разберем несколько случаев:

1. Когда \(a > b\). В этом случае \(a - b\) будет положительным числом. Предположим, что сумма \(a + b\) равна \(k \cdot (a - b)\), где \(k\) - целое число, отличное от нуля. Тогда можем записать:

\[a + b = k \cdot (a - b)\]

Раскроем скобки:

\[a + b = k \cdot a - k \cdot b\]

Перенесем все \(b\) на одну сторону уравнения:

\[a + k \cdot b = k \cdot a\]

Теперь выразим \(b\) через \(a\) и \(k\):

\[b = (k \cdot a - a) / (k - 1)\]

Таким образом, если мы можем найти такое целое число \(k\), при котором \(b\) оказывается также целым числом, то пара чисел \(a\) и \(b\) удовлетворит условиям задачи.

2. Когда \(a < b\). В этом случае \(a - b\) будет отрицательным числом. Предположим, что сумма \(a + b\) равна \(k \cdot (a - b)\), где \(k\) - целое число, отличное от нуля. Тогда можем записать:

\[a + b = k \cdot (a - b)\]

Проведем аналогичные операции, как в предыдущем случае. В результате получим:

\[b = (k \cdot a + a) / (1 - k)\]

Обратите внимание, что в данном случае \(k\) не может равняться 1, так как это приводит к делению на ноль.

3. Когда \(a = b\). В этом случае разность \(a - b\) будет равна нулю, а сумма \(a + b\) будет равна удвоенному значению \(a\). Для этого случая требуется, чтобы удвоенное значение \(a\) не было кратным себе самому. Чтобы найти максимальное значение \(a\) для этого случая, нужно найти максимальное нечетное число в диапазоне от 1 до 2021, так как только нечетные числа удовлетворяют условию.

Таким образом, чтобы выбрать максимальное число от 1 до 2021, удовлетворяющее условию задачи, нужно:

1. Найти максимальное нечетное число, которое будет одним из выбранных чисел.
2. Для этого нечетного числа, применить вышеуказанные формулы для нахождения второго числа, удовлетворяющего условию.