Какое минимальное количество Ивановых может составить команду для участия в эстафете? Сколько существует шестизначных

Давайте рассмотрим каждую задачу по очереди и предоставим подробное объяснение и решение.

Задача 1: Какое минимальное количество Ивановых может составить команду для участия в эстафете?
Описание задачи: Предположим, что все члены команды должны иметь одинаковую фамилию Иванов. Нам нужно определить минимальное количество Ивановых, которые могут составить команду для эстафеты.

Решение: В эстафете обычно участвуют несколько человек, поэтому нам нужно найти наименьшее количество людей с фамилией Иванов, чтобы возможно было создать команду.

Так как нам не дано ограничения на количество членов в команде, мы можем сделать вывод, что для участия в эстафете достаточно одного человека. То есть, минимальное количество Ивановых, необходимых для составления команды, равно 1.

Ответ: Минимальное количество Ивановых для участия в эстафете - 1 человек.

Задача 2: Сколько существует шестизначных чисел с четырьмя различными цифрами в их десятичной записи?
Описание задачи: Нам нужно выяснить, сколько существует шестизначных чисел, в которых содержится ровно четыре различных цифры.

Решение: Рассмотрим задачу шаг за шагом.

1. Выбор четырех различных цифр: Для шестизначного числа мы можем выбрать 4 различные цифры из десятичных цифр (0-9). Это можно сделать следующим образом: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{4})$, где $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})$ - это число сочетаний из n элементов по r элементов. В качестве примера, $(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{4})=\frac{10!}{4!(10-4)!}=210$. Таким образом, мы можем выбрать 4 различные цифры из десятичных цифр 210 различными способами.

2. Расположение выбранных цифр: После выбора 4 различных цифр, мы должны решить, в каком порядке расположить их в шестизначное число. В данном случае, мы можем разместить цифры в любом порядке, поэтому у нас есть 4 различные цифры для первой позиции, 3 различные цифры для второй позиции и т.д. В общем, у нас есть ${}_4{P}_6$ способов размещения 4 различных цифр в шестизначное число. Это выражение означает число перестановок из 4 элементов по 6 позициям. В качестве примера, ${}_4{P}_6=\frac{6!}{(6-4)!}=360$. Таким образом, мы можем расположить выбранные цифры 360 различными способами.

3. Умножение выбранных цифр и расположения: Чтобы найти общее количество шестизначных чисел с четырьмя различными цифрами, мы должны умножить количество выбранных различных цифр (210) на количество различных расположений (360). Это даст нам общее количество шестизначных чисел с четырьмя различными цифрами.

Итого, общее количество шестизначных чисел с четырьмя различными цифрами в их десятичной записи равно $210\times 360=75600$.

Ответ: Существует 75,600 шестизначных чисел с четырьмя различными цифрами в их десятичной записи.

Задача 3: Сколько шестизначных чисел с чередующимися "четными" и "нечетными" цифрами можно выбрать?
Описание задачи: Мы должны определить сколько шестизначных чисел можно выбрать таким образом, чтобы их цифры чередовались между "четными" и "нечетными".

Решение: Рассмотрим задачу поэтапно.

1. Выбор четных цифр: В шестизначном числе между "четными" и "нечетными" цифрами мы должны чередовать четные цифры. В десятичной системе обозначения, четные цифры - это 0, 2, 4, 6 и 8. Мы можем выбрать 3 четные цифры из 5 возможных четных цифр. Это можно сделать следующим образом: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})$. В качестве примера, $(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})=\frac{5!}{3!(5-3)!}=10$. Таким образом, мы можем выбрать 3 четные цифры из 5 возможных четных цифр 10 различными способами.

2. Выбор нечетных цифр: В шестизначном числе мы также должны чередовать нечетные цифры. В десятичной системе обозначения, нечетные цифры - это 1, 3, 5, 7 и 9. Мы можем выбрать 3 нечетные цифры из 5 возможных нечетных цифр также по формуле $(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})$. Мы уже вычислили это значение как 10.

3. Расположение выбранных цифр: После выбора 3 четных и 3 нечетных цифр, мы должны определить, как их расположить в шестизначное число. Мы можем начать с четной цифры, затем нечетной, затем снова четной и так далее. То есть, у нас есть 3 четных и 3 нечетных цифры для первой позиции, 2 четные и 2 нечетные цифры для второй позиции и т.д. В общем, у нас есть ${}_3{P}_6{\times }_2{P}_5{\times }_1{P}_4$ способов размещения выбранных цифр в шестизначное число. Это означает число перестановок из 3 элементов по 6 позициям для четных цифр, число перестановок из 2 элементов по 5 позициям для нечетных цифр и из 1 элемента по 4 позициям также для нечетных цифр. В качестве примера, ${}_3{P}_6=\frac{6!}{(6-3)!}=120$, ${}_2{P}_5=\frac{5!}{(5-2)!}=20$ и ${}_1{P}_4=\frac{4!}{(4-1)!}=24$. Таким образом, мы можем расположить выбранные цифры 120$\times$20$\times$24 = 57,600 различными способами.

4. Умножение выбранных цифр и расположения: Для общего количества шестизначных чисел с чередующимися "четными" и "нечетными" цифрами нам нужно умножить количество выбранных четных и нечетных цифр (10$\times$10) на количество различных расположений (57,600).

Таким образом, общее количество шестизначных чисел с чередующимися "четными" и "нечетными" цифрами равно $10\times 10\times 57,600=5,760,000$.

Ответ: Существует 5,760,000 шестизначных чисел с чередующимися "четными" и "нечетными" цифрами.

Задача 4: Сколько возможных вариантов выбора темы и человека для создания их презентации?
Описание задачи: Нам нужно определить, сколько возможных вариантов выбора темы и человека для создания презентации.

Решение: Для решения этой задачи, нам нужно узнать количество доступных тем и количество возможных людей для создания презентации.

Пусть количество доступных тем будет n и количество возможных людей для создания презентации будет m.

1. Выбор темы: Для выбора темы у нас есть n вариантов.

2. Выбор человека: Для выбора человека у нас есть m вариантов.

3. Умножение выборов: Чтобы найти общее количество возможных вариантов выбора темы и человека для создания презентации, нам нужно умножить количество вариантов выбора темы (n) на количество вариантов выбора человека (m).

Итого, общее количество возможных вариантов выбора темы и человека для создания презентации равно n$\times$m.

Ответ: Общее количество возможных вариантов выбора темы и человека для создания презентации равно n$\times$m.