Какое максимальное значение принимает функция y = 3cosx + cos3x/5 на интервале (-π/2; π/2)?

Чтобы найти максимальное значение функции \(y = 3\cos{x} + \frac{\cos{3x}}{5}\) на интервале \(-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}\), нам нужно найти точку, где производная функции равна нулю.

Давайте начнем с нахождения производной этой функции. Производная функции будет равна производной первого слагаемого по \(x\), плюс производную второго слагаемого по \(x\):

\[
y"(x) = -3\sin{x} - \frac{3\sin{3x}}{5}
\]

Теперь мы можем найти точку, где производная равна нулю, решив уравнение:

\[
-3\sin{x} - \frac{3\sin{3x}}{5} = 0
\]

Давайте приведем это уравнение к более простому виду. Умножим обе стороны уравнения на 5, чтобы избавиться от дроби:

\[
-15\sin{x} - 3\sin{3x} = 0
\]

Затем сгруппируем слагаемые:

\[
\sin{3x} = -5\sin{x}
\]

Теперь мы знаем, что для любого значения \(x\) на интервале \(-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}\), \(\sin{3x} = -5\sin{x}\).

Одно решение этого уравнения очевидно: \(x = 0\). Но нас интересуют другие значения \(x\) на указанном интервале.

Чтобы исследовать другие значения, давайте поделим обе части уравнения на \(\sin{x}\):

\[
\frac{\sin{3x}}{\sin{x}} = -5
\]

Стандартное тригонометрическое соотношение гласит, что \(\sin{3x} = 3\sin{x} - 4\sin^3{x}\). Подставим это соотношение в уравнение:

\[
\frac{3\sin{x} - 4\sin^3{x}}{\sin{x}} = -5
\]

Упростим уравнение:

\[
3 - 4\sin^2{x} = -5
\]

Теперь выразим \(\sin^2{x}\):

\[
4\sin^2{x} = 3 + 5 = 8
\]

\(\sin{x}\) не может быть отрицательным значением на интервале \(-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}\), поэтому давайте рассмотрим только положительное значение:

\[
\sin^2{x} = \frac{8}{4} = 2
\]

Таким образом, \(\sin{x} = \sqrt{2}\). Однако, \(\sqrt{2}\) не является допустимым значением для синуса в указанном интервале.

Поэтому, единственной точкой, где производная функции равна нулю, является \(x = 0\).

Теперь нам нужно найти значение функции \(y\) при \(x = 0\) и проверить, является ли оно максимальным или минимальным.

Для этого подставим \(x = 0\) в исходную функцию:

\[
y(0) = 3\cos{0} + \frac{\cos{0}}{5} = 3 + \frac{1}{5} = \frac{16}{5}
\]

Таким образом, на интервале \(-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}\), функция \(y = 3\cos{x} + \frac{\cos{3x}}{5}\) достигает максимального значения \(\frac{16}{5}\) при \(x = 0\).