Какое максимальное значение принимает функция y = 3cosx + cos3x/5 на интервале (-π/2; π/2)?

Чтобы найти максимальное значение функции $y=3\cos x+\frac{\cos 3x}{5}$ на интервале $-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$, нам нужно найти точку, где производная функции равна нулю.

Давайте начнем с нахождения производной этой функции. Производная функции будет равна производной первого слагаемого по $x$, плюс производную второго слагаемого по $x$:

$$y"(x)=-3\sin x-\frac{3\sin 3x}{5}$$

Теперь мы можем найти точку, где производная равна нулю, решив уравнение:

$$-3\sin x-\frac{3\sin 3x}{5}=0$$

Давайте приведем это уравнение к более простому виду. Умножим обе стороны уравнения на 5, чтобы избавиться от дроби:

$$-15\sin x-3\sin 3x=0$$

Затем сгруппируем слагаемые:

$$\sin 3x=-5\sin x$$

Теперь мы знаем, что для любого значения $x$ на интервале $-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$, $\sin 3x=-5\sin x$.

Одно решение этого уравнения очевидно: $x=0$. Но нас интересуют другие значения $x$ на указанном интервале.

Чтобы исследовать другие значения, давайте поделим обе части уравнения на $\sin x$:

$$\frac{\sin 3x}{\sin x}=-5$$

Стандартное тригонометрическое соотношение гласит, что $\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$. Подставим это соотношение в уравнение:

$$\frac{3\sin x-4{\sin }^{3}x}{\sin x}=-5$$

Упростим уравнение:

$$3-4{\sin }^{2}x=-5$$

Теперь выразим ${\sin }^{2}x$:

$$4{\sin }^{2}x=3+5=8$$

$\sin x$ не может быть отрицательным значением на интервале $-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$, поэтому давайте рассмотрим только положительное значение:

$${\sin }^{2}x=\frac{8}{4}=2$$

Таким образом, $\sin x=\sqrt{2}$. Однако, $\sqrt{2}$ не является допустимым значением для синуса в указанном интервале.

Поэтому, единственной точкой, где производная функции равна нулю, является $x=0$.

Теперь нам нужно найти значение функции $y$ при $x=0$ и проверить, является ли оно максимальным или минимальным.

Для этого подставим $x=0$ в исходную функцию:

$$y(0)=3\cos 0+\frac{\cos 0}{5}=3+\frac{1}{5}=\frac{16}{5}$$

Таким образом, на интервале $-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$, функция $y=3\cos x+\frac{\cos 3x}{5}$ достигает максимального значения $\frac{16}{5}$ при $x=0$.