Какое максимальное значение принимает функция [tex]y = log_{2}( - 60 - 16x - {x}^{2} ) - 3[/tex]?

Для определения максимального значения функции нам нужно найти вершину параболы, заданной уравнением функции.

Итак, уравнение функции:

\[y = \log_2(-60 - 16x - x^2) - 3\]

Для начала, заметим, что аргумент логарифма должен быть положительным числом. Поэтому, определим возможные значения \(x\), при которых аргумент логарифма будет положительным:
\(-60 - 16x - x^2 > 0\)

Для решения этого неравенства, найдем его корни, используя квадратное уравнение:

\[x^2 + 16x + 60 = 0\]

Применяя квадратное уравнение, мы получаем два корня:

\[x_1 = -6, \quad x_2 = -10\]

Теперь, исключив значения \(x\), при которых аргумент логарифма становится отрицательным, перейдем к вычислению максимального значения функции.

Вершина параболы может быть найдена, применив формулу:
\[x_v = -\frac{b}{2a}\]

где \(a\) и \(b\) - коэффициенты квадратного уравнения \(x^2 + 16x + 60 = 0\).

В нашем случае \(a = 1\) и \(b = 16\), поэтому:

\[x_v = -\frac{16}{2} = -8\]

Теперь, чтобы найти соответствующее значение функции при \(x = -8\), подставим его в уравнение функции:

\[y = \log_2(-60 - 16(-8) - (-8)^2) - 3\]

Вычислим это значение:

\[y = \log_2(-60 + 128 - 64) - 3 = \log_2(4) - 3 = 2 - 3 = -1\]

Таким образом, максимальное значение функции \(y\) равно -1 и достигается при \(x = -8\).

Хотел бы что-то еще узнать?