Каков объем правильной четырехугольной пирамиды с основанием, длиной стороны которого 12см, и боковой гранью

Чтобы найти объем правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно знать формулу для расчета объема пирамиды. Формула выглядит следующим образом:

\[ V = \frac{1}{3} \times S \times h \]

где \( V \) - объем пирамиды, \( S \) - площадь основания пирамиды, а \( h \) - высота пирамиды.

Чтобы найти объем пирамиды, мы сначала должны найти площадь основания и высоту пирамиды.

У нас есть сторона основания пирамиды, равная 12 см. Поскольку мы имеем дело с правильной четырехугольной пирамидой, основание будет квадратом, и его площадь можно найти, возведя длину стороны в квадрат:

\[ S = a^2 = 12^2 = 144 \, \text{см}^2 \]

Теперь мы должны найти высоту пирамиды. У нас есть боковая грань пирамиды, наклоненная к плоскости основания под углом 30 градусов. Нам понадобится треугольник, образованный боковой гранью, чтобы найти высоту.

Поскольку у нас есть размеры сторон и угол треугольника, мы можем использовать тригонометрические отношения, чтобы найти высоту \( h \) треугольника. В данном случае нам понадобится тангенс угла:

\[ \tan(30^\circ) = \frac{h}{a} \]

Подставим значение стороны \( a = 12 \) см и решим уравнение относительно \( h \):

\[ h = a \times \tan(30^\circ) = 12 \times \tan(30^\circ) \]

Используя значения тангенса \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \), мы можем рассчитать высоту:

\[ h = 12 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} \, \text{см} \]

Теперь у нас есть значение площади основания пирамиды (\( S = 144 \, \text{см}^2 \)) и высоты пирамиды (\( h = \frac{12}{\sqrt{3}} \, \text{см} \)). Подставим эти значения в формулу для объема пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \times 144 \times \frac{12}{\sqrt{3}} \]

Упрощая это выражение, мы получим:

\[ V = \frac{1728}{3 \sqrt{3}} \, \text{см}^3 \]

Таким образом, объем этой правильной четырехугольной пирамиды составляет \( \frac{1728}{3 \sqrt{3}} \, \text{см}^3 \).