Какое максимальное значение площади прямоугольника, если его периметр равен 4000 и длина одной стороны равна

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать некоторую алгебру и аналитическую геометрию. Давайте разберемся пошагово.

Предположим, что длина одной стороны прямоугольника равна \(x\), а длина другой стороны равна \(y\).

У нас есть условие, что периметр прямоугольника равен 4000. Вспомним формулу периметра прямоугольника:

\[P = 2(x + y)\]

Подставим значение периметра, получим:

\[4000 = 2(x + y)\]

Разделим обе части равенства на 2:

\[2000 = x + y \quad\quad \text{(1)}\]

Также нам дано, что длина одной стороны равна \(n\%\) от длины другой стороны. Это можно записать уравнением:

\[y = \frac{n}{100}x \quad\quad \text{(2)}\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений: (1) и (2). Мы можем решить эту систему методом подстановки или методом сложения, чтобы найти значения \(x\) и \(y\), а затем вычислить площадь прямоугольника.

Выберем метод подстановки и выразим \(y\) из уравнения (2):

\[y = \frac{n}{100}x\]

Теперь заменим \(y\) в уравнении (1) и решим полученное уравнение:

\[2000 = x + \frac{n}{100}x\]

Упростим это уравнение:

\[2000 = x \left(1 + \frac{n}{100}\right)\]

Раскроем скобки:

\[2000 = \frac{100 + n}{100}x\]

Теперь можно найти значение \(x\):

\[x = \frac{2000 \times 100}{100 + n}\]

Теперь найдем значение \(y\) с помощью уравнения (2):

\[y = \frac{n}{100}x\]

Подставляем найденное значение \(x\):

\[y = \frac{n}{100} \cdot \frac{2000 \times 100}{100 + n}\]

Таким образом, мы нашли значения \(x\) и \(y\) в зависимости от \(n\), где \(n\) - это процент, заданный в условии.

Теперь, чтобы найти максимальное значение площади, нужно умножить найденные значения \(x\) и \(y\):

\[S = x \cdot y = \left(\frac{2000 \times 100}{100 + n}\right) \cdot \left(\frac{n}{100} \cdot \frac{2000 \times 100}{100 + n}\right)\]

Упростим это выражение:

\[S = \frac{2000 \times 100 \times n}{100 + n} \cdot \frac{n}{100 + n}\]

\[S = \frac{2000 \times 100 \times n^2}{(100 + n)^2}\]

Таким образом, максимальное значение площади прямоугольника равно \(\frac{2000 \times 100 \times n^2}{(100 + n)^2}\) при заданных условиях.