Какое максимальное значение можно получить для произведения xy, если известно, что 2x + y = 6 и x

Для решения этой задачи нам нужно найти максимальное значение произведения xy, при условии 2x + y = 6 и x > 0, y > 0.

Давайте начнем с выражения 2x + y = 6. Мы можем решить его относительно y, чтобы получить y в зависимости от x:

y = 6 - 2x

Теперь мы имеем выражение для y в зависимости от x. Чтобы найти максимальное значение произведения xy, нам нужно найти максимальное значение функции xy при условии, что x > 0 и y > 0.

Мы можем заменить y в выражении xy на 6 - 2x:

f(x) = x(6 - 2x)

Теперь мы имеем уравнение для нашей функции f(x) в зависимости от x. Наша задача - найти максимальное значение этой функции. Для этого мы можем воспользоваться различными методами, такими как нахождение экстремумов или графическое представление.

Давайте выполним процедуру дифференцирования, чтобы найти точки экстремума:

f"(x) = 6 - 4x

Чтобы найти точки экстремума, мы должны приравнять производную f"(x) к нулю:

6 - 4x = 0

Теперь решим это уравнение относительно x:

4x = 6

x = \(\frac{6}{4}\)

x = \(\frac{3}{2}\)

Теперь мы можем найти соответствующее значение y, используя наше исходное уравнение 2x + y = 6:

2(\(\frac{3}{2}\)) + y = 6

3 + y = 6

y = 6 - 3

y = 3

Таким образом, мы нашли значения x = \(\frac{3}{2}\) и y = 3, в которых достигается максимальное значение произведения xy.

Теперь, чтобы найти это максимальное значение, давайте подставим эти значения в нашу функцию f(x):

f(\(\frac{3}{2}\)) = \(\frac{3}{2}\)(6 - 2(\(\frac{3}{2}\)))

f(\(\frac{3}{2}\)) = \(\frac{3}{2}\)(6 - 3)

f(\(\frac{3}{2}\)) = \(\frac{3}{2}\)(3)

f(\(\frac{3}{2}\)) = \(\frac{9}{2}\)

Таким образом, максимальное значение произведения xy равно \(\frac{9}{2}\) при x = \(\frac{3}{2}\) и y = 3.