Какое максимальное значение может принимать функция y=4,5⋅2^cos⁡2xcos⁡3x−sin⁡2xsin⁡3x+2?

Для решения этой задачи нам нужно найти максимальное значение функции \(y = 4.5 \cdot 2^{\cos(2x) \cos(3x) - \sin(2x) \sin(3x)} + 2\).

Для начала разберемся с выражением \(\cos(2x) \cos(3x) - \sin(2x) \sin(3x)\). Это выражение представляет собой формулу для нахождения косинуса разности двух углов, где один угол равен \(2x\), а другой угол равен \(3x\). По формуле тригонометрии:

\[
\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\alpha) \sin(\beta)
\]

Мы можем применить эту формулу к нашему выражению:

\[
\cos(2x) \cos(3x) - \sin(2x) \sin(3x) = \cos\left(2x - 3x\right) = \cos(-x) = \cos(x)
\]

Теперь, заменим исходное выражение с помощью этого упрощения:

\[
y = 4.5 \cdot 2^{\cos(x)} + 2
\]

Функция \(2^{\cos(x)}\) является возведением числа 2 в степень, где показатель степени \(\cos(x)\).

Максимальное значение этой функции находится в точке, где \(\cos(x)\) принимает свое максимальное значение, то есть 1. Введение выражения \(\cos(x)\) в области \([-1,1]\) ограничивает максимальное значение функции, так как \(\cos(x)\) принимает значения от -1 до 1.

Теперь, подставим максимальное значение \(\cos(x) = 1\) в выражение \(y = 4.5 \cdot 2^{\cos(x)} + 2\):

\[
y_{\text{максимальное}} = 4.5 \cdot 2^{1} + 2
\]

Вычислим это значение:

\[
y_{\text{максимальное}} = 4.5 \cdot 2 + 2
\]

\[
y_{\text{максимальное}} = 9 + 2
\]

\[
y_{\text{максимальное}} = 11
\]

Итак, максимальное значение функции \(y\) равно 11.