Какое максимальное значение имеет функция f(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 36x – 8 на интервале [-3,3]?

Чтобы найти максимальное значение функции \(f(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 36x - 8\) на интервале \([-3, 3]\), мы должны выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдите критические точки
Критические точки функции \(f(x)\) могут находиться там, где производная функции равна нулю или не существует. Для этого найдём производную функции \(f(x)\):
\[f"(x) = 6x^{2} - 6x - 36\]

Приведём производную к виду, где можно найти корни:
\[f"(x) = 6(x^{2} - x - 6)\]

Теперь найдём корни посредством решения уравнения \(x^{2} - x - 6 = 0\). Можно воспользоваться факторизацией или квадратным уравнением. Решив это уравнение, мы получаем следующие значения:
\[x_{1} = -2, \quad x_{2} = 3\]

Эти значения \(x_{1}\) и \(x_{2}\) представляют две критические точки функции \(f(x)\).

Шаг 2: Оценка значений функции на концах интервала
Для нахождения максимального значения функции на интервале \([-3, 3]\), мы должны также оценить значения функции на концах интервала.

Подставим \(x = -3\) и \(x = 3\) в функцию \(f(x)\):
\[f(-3) = 2(-3)^{3} - 3(-3)^{2} - 36(-3) - 8\]
\[f(-3) = -2\]

\[f(3) = 2(3)^{3} - 3(3)^{2} - 36(3) - 8\]
\[f(3) = -20\]

Шаг 3: Определение максимального значения
Теперь, чтобы определить максимальное значение функции \(f(x)\) на интервале \([-3, 3]\), сравним значения функции в критических точках и на концах интервала:

\[f(-3) = -2\]
\[f(x_{1}) = f(-2) = 2(-2)^{3} - 3(-2)^{2} - 36(-2) - 8 = 8\]
\[f(x_{2}) = f(3) = 2(3)^{3} - 3(3)^{2} - 36(3) - 8 = -20\]
\[f(3) = -20\]

Из сравнения видно, что максимальное значение функции \(f(x)\) на интервале \([-3, 3]\) равно 8. Достижение этого значения происходит в точке \(x_{1} = -2\).

Итак, максимальное значение функции \(f(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 36x - 8\) на интервале \([-3,3]\) равно 8 и достигается при \(x = -2\).