Какое максимальное расстояние будет между центром Земли и вторым спутником, если два спутника движутся по касающимся

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать третий закон Кеплера, который гласит, что квадрат периода обращения спутника пропорционален кубу большой полуоси его орбиты.

Давайте посмотрим на каждый спутник по отдельности.

Первый спутник движется по окружности с радиусом \(r\). Окружность является частным случаем эллипса, где большая и малая полуоси совпадают. Поэтому, для первого спутника максимальное расстояние между его центром и центром Земли будет равно радиусу окружности, то есть \(r\).

Второй спутник движется по эллипсу с периодом обращения, который в \(\eta\) раз больше периода обращения первого спутника. Пусть большая полуось орбиты второго спутника будет \(a\), а малая полуось будет \(b\).

Согласно третьему закону Кеплера, мы можем записать следующее уравнение:

\[\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = \left(\frac{a_2}{a_1}\right)^3\]

где \(T_2\) - период обращения второго спутника, \(T_1\) - период обращения первого спутника, \(a_2\) - большая полуось орбиты второго спутника, \(a_1\) - радиус окружности первого спутника (\(r\)).

Так как период обращения второго спутника в \(\eta\) раз больше периода обращения первого спутника, мы можем записать:

\[\left(\frac{\eta T_1}{T_1}\right)^2 = \left(\frac{a_2}{r}\right)^3\]

\[\eta^2 = \left(\frac{a_2}{r}\right)^3\]

Далее, для второго спутника максимальное расстояние между его центром и центром Земли будет равно большой полуоси его орбиты (\(a_2\)) минус радиус Земли (\(r\)):

Максимальное расстояние = \(a_2 - r\)

Теперь мы можем найти максимальное расстояние между центром Земли и вторым спутником, подставив значение \(\eta^2\):

Максимальное расстояние = \(\sqrt[3]{\eta^2} \cdot r - r\)

Таким образом, максимальное расстояние между центром Земли и вторым спутником будет равно \(\sqrt[3]{\eta^2} \cdot r - r\).